Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Вероятность попадания в интервал показательной случайной величины

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Математика / Показательное распределение / Вероятность попадания в интервал показательной случайной величины
Вероятность попадания в интервал показательной случайной величины

Напомним, что вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал $(\alpha ,\beta )$ находится по формуле:



Рисунок 1.

где $\gamma $ - положительная константа.

Напомним, что функция распределения показательной вероятности имеет следующий вид:



Рисунок 2.

где $\gamma $ - положительная константа.

Тогда:

Значения функции $y=e^{-x}$

Рисунок 3. Значения функции $y=e^{-x}$

Примеры решения задач на нахождение вероятности попадания случайной величины в заданный интервал

Пример 1

Непрерывная случайная величина $X$ подчиняется показательному закону распределения. На промежутке $[0,\infty )$ плотность распределения имеет вид: $\varphi \left(x\right)=5e^{-\alpha x}.$

Найти:

  1. Коэффициент $\alpha $.
  2. Плотность распределения.
  3. Функция распределения.
  4. Найти вероятность того, что случайная величина попадет в интервал $(0,1)$.

Решение:

  1. Так как распределения является показательным, то по формуле плотности распределения $\alpha =5$.
  2. По формуле плотности распределения, получим:



Рисунок 4.

  1. По формуле функции распределения, имеем:



Рисунок 5.

  1. Найдем вероятность по формуле:
\[P\left(\alpha Из таблицы 1, имеем: $e^{-5}=0,0067$, значит \[P\left(0
Пример 2

Работа телефонного аккумулятора имеет показательное распределение с коэффициентом $\gamma =0,04$. Определить:

  1. Вероятность того, что телефон разрядится через 70 часов.
  2. Вероятность того, что за это время телефон не разрядится.

Решение:

Воспользуемся формулой $P\left(\alpha

  1. Найти вероятность того, что телефон разрядится равносильно тому, чтобы найти вероятность попадания случайной величины в интервал $(0,70)$:
\[P\left(0Из таблицы 1, находим $e^{-2,8}=0,756$, тогда \[P\left(0То есть, вероятность того, что телефон разрядится, составляет $24,4\%$.

Тогда вероятность того, что он не разрядится, равна

\[100\%-24,4\%=75,6\%\]
Пример 3

10\% телевизоров ломаются в течении первых 4000 часов работы. Найти вероятность, что телевизор сломается в интервале от 1000 до 2000 часов работы. (Распределение считать экспоненциальным)

Решение:

По определению потенциального распределения, плотность распределения имеет вид:



Рисунок 6.

Для начала необходимо найти константу $\gamma $. Из условия задачи, получаем:

\[P\left(X\ge 4000\right)=0,1.\]

Найдем $P\left(X\ge 4000\right)$:

\[P\left(X\ge 4000\right)=1-P\left(XКак нам уже известно



Рисунок 7.

Значит

\[F\left(4000\right)=1-e^{-4000\gamma }\]

Получаем уравнение:

\[1-1+e^{-4000\gamma }=0,1,\] \[e^{-4000\gamma }=0,1,\] \[-4000\gamma =ln0,1,\] \[\gamma =-\frac{ln0,1}{4000}=0,00058\]

Получаем, что плотность распределения имеет вид:



Рисунок 8.



Рисунок 9.

Ответ: $24\%$.