Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Механический смысл производной

Содержание статьи

Рассмотрим движущуюся по направлению прямой линии точку. Пройденный ею путь s, отсчитываемый от какой-то предельной точки на прямой -- функция времени t:

s = f(x)

Таким образом, любому моменту времени t соответствует конкретное значение s. Придадим времени приращение $\Delta $t, и тогда новому моменту времени t + $\Delta $t будет соответствовать расстояние s + $\Delta $s.

Если точка движется равномерно, приращение пути будет прямо пропорционально приращению времени, и постоянная скорость движения равна отношению:

Данное отношение находится в зависимости от выбранного момента времени t и от приращения $\Delta $t и называется средней скоростью движения за промежуток времени от t до t + $\Delta $t.

Средняя скорость выражает скорость наблюдаемой нами точки, которая, двигаясь равномерно, за промежуток $\Delta $t проходит путь $\Delta $s.

Скорость точки в конкретный момент времени:

Пример 1

Найдем среднее равномерно ускоренное движение и скорость точки в конкретный момент времени, если:

\[s=\frac{1}{2} gt^{2} +v_{0} t\]

Решение.

\[\frac{\Delta s}{\Delta t} =\frac{\frac{1}{2} g\left(t+\Delta t\right)^{2} +v_{0} \left(t+\Delta t\right)-\frac{1}{2} gt^{2} -v_{0} t}{\Delta t} =gt+v_{0} +\frac{1}{2} g\Delta t\]

Чем меньше приращение времени, тем равномерней движение рассматриваемой точки в данный момент времени. Скорость точки в конкретный момент времени:

\[v=\mathop{\lim }\limits_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta t\to 0} gt+v_{0} +\frac{1}{2} g\Delta t=gt+v_{0} \]

Скорость так же, как и путь -- функция от t, производная функции f(t) по t. Таким образом, скорость -- производная от пути по времени.

Пусть функция y=f(x) определена при некотором фиксированном значении x и при всех близких к нему значениях х + $\Delta $х. Где х -- любое положительное или отрицательное число, достаточно малое по абсолютному значению, а $\Delta $х -- приращение числа. Соответствующее приращение функции будет иметь вид:

\[\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)\]

Тогда отношение приращений:

$\frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} $ (1)

Отношение определено при всех достаточно малых по абсолютной величине значениях $\Delta $х на промежутке $-m\le \Delta E\le m$ кроме $\Delta $х = 0.

Выражение (1) является функцией только от $\Delta $х!

Готовые работы на аналогичную тему

Что такое производная функции

Определение

Если отношение

\[\frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \]

Имеет конечный предел при стремлении приращения независимой переменной к 0, то такой предел называется производной функции f(х) при заданном х.

Иначе говоря, производной данной функции f(x) при заданном значении х называется предел отношений $\frac{\Delta y}{\Delta x} $ приращения $\Delta $у функции к соответствующему приращению независимого переменного стремящегося к нулю.

\[f`(x)=\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \]
Пример 2

Найти производную функции, опираясь на механический смысл производной:

\[f(x)=3x^{2} -5\]

Решение.

  1. Добавим к неизвестной приращение и возведем скобку в квадрат по арифметическим правилам
  2. \[\frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{3(x+\Delta x)^{2} -5-3x^{2} +5}{\Delta x} =\frac{3(x^{2} +2x\Delta x+\Delta x^{2} )-5-3x^{2} +5}{\Delta x} \]
  3. Упростим выражение и сократим на знаменатель всю дробь:
  4. \[\frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{3x^{2} +6x\Delta x+3\Delta x^{2} -3x^{2} }{\Delta x} =6x+3\Delta x\]

Найдем предел приращения при его стремлении к 0:

\[f`(x)=\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} =6x+3\Delta x=6x+3*0=6x\]

Ответ: Производная функции равна 6х.

Пример 3

Найти производную функции, опираясь на механический смысл производной:

\[f(x)=\sqrt{E} \]

Решение.

  1. Внесем под знак корня дополнительное приращение функции и выполним операцию «искусственного» умножения на выражение $\sqrt{E+\Delta E} +\sqrt{E} $ как числителя, так и знаменателя
  2. \[\frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{\sqrt{E+\Delta E} -\sqrt{E} }{\Delta x} =\frac{\left(\sqrt{E+\Delta E} -\sqrt{E} \right)\left(\sqrt{E+\Delta E} +\sqrt{E} \right)}{\Delta x\left(\sqrt{E+\Delta E} +\sqrt{E} \right)} =\]
  3. Выполним преобразования
  4. \[\frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{\Delta x}{\Delta x\left(\sqrt{E+\Delta E} +\sqrt{E} \right)} =\frac{1}{\left(\sqrt{E+\Delta E} +\sqrt{E} \right)} \]

Найдем предел приращения при его стремлении к 0:

\[f`(x)=\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{1}{\left(\sqrt{E+\Delta E} +\sqrt{E} \right)} =\frac{1}{2\sqrt{E} } \]
Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

оксана николаевна кузнецова

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис