Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Механический смысл второй производной

Все предметы / Математика / Производная и дифференциал / Механический смысл второй производной

Пусть материальная точка движется прямолинейно по закону s = f(t), где s - путь, проходимый точкой за время t. Тогда скорость v этого движения это функция времени:

$v = v(t)$

В момент времени t скорость имеет значение $v_0 = v(t)$. Рассмотрим момент времени $t + \Delta t$. Ему соответствует значение скорости

$v_1 = v(t + \Delta t)$

Приращению времени $\Delta $t соответствует приращение скорости

Средним ускорением $\Delta $t является отношение

Ускорением $\omega $ в момент t называется предел среднего ускорения при $\Delta $t стремящемся к 0.

Ускорение прямолинейного движения точки есть производная скорости по времени.

Таким образом, скорость - производная пути s по времени t. Учитывая это, имеем:

Значит, ускорение прямолинейного движения точки равно второй производной пути по времени.

Пример 1

Пусть прямолинейное движение материальной точки происходит по закону

\[s=\frac{2t^{3} }{5} \]

где время t выражается в сек, а путь s -- в см.

Найти ускорение w движущейся точки в момент времени t = 4 сек.

Решение.

По формуле:

\[\omega =v'_{t} =s''\]

Найдем искомое ускорение

\[s'=\left(\frac{2t^{3} }{5} \right){{'} } =\frac{6t^{2} }{5} \] \[\omega =s''=\left(\frac{6t^{2} }{5} \right){{'} } =\frac{12t}{5} \]
Пример 2

Материальная точка осуществляет движение по закону

\[s=3t^{2} +2t^{3} \]

где время s измеряется в метрах, а t -- в секундах.

Найти момент времени t в котором ускорение достигает значения 10 секунд.

Решение.

Найдем вторую производную:

\[s'=\left(3t^{2} +2t^{3} \right){{'} } =6t+6t^{2} \] \[s''=\left(6t+6t^{2} \right){{'} } =6+12t\]

По формуле:

\[\omega =s''\] \[\omega =6+12t\]

Выразим t

\[t=\frac{\omega -6}{12} \]

Заменим ускорение значением 10 секунд:

\[t=\frac{10-6}{12} =\frac{1}{3} сек\]
Пример 3

Скорость движения тела выражается формулой

\[v=0,8t^{3} -1,2\]

Найти ускорение тела спустя 12 секунд от начала его движения.

Решение.

Поскольку ускорением является производная от скорости:

\[\omega =v''=\left(0,8t^{3} -1,2\right){{'} } {{'} } =4,8t\]

Через 12 секунд ускорение составит:

\[\omega =4,8\cdot 12=57,6 м/с^{2} \]

Готовые работы на аналогичную тему

Пример 4

Чему равно ускорение точки в момент времени 2 секунды, если закон движения выражается как:

\[x=3t^{3} +2t^{2} \]

Решение.

Ускорением является вторая производная от скорости. Найдем первую и вторую производную соответственно.

\[x'=\left(3t^{3} +2t^{2} \right){{'} } =9t^{2} +4t\] \[\omega =x''=\left(9t^{2} +4t\right){{'} } =18t+4\]

Во время равное 2 секунды, ускорение составит:

\[\omega =18\cdot 2+4=40 м/c^{2} \]
Пример 5

В какой момент времени ускорение материальной точке будет равно ную, если закон движения точки:

\[x=\frac{3}{2} t^{3} -2t^{2} +t-128\]

Решение.

Найдем первую производную от закона движения:

\[x'=\left(\frac{3}{2} t^{3} -2t^{2} +t-128\right){{'} } =\frac{9}{2} t^{2} -4t+1\]

Найдем вторую производную

\[x''=\left(\frac{9}{2} t^{2} -4t+1\right){{'} } =9t-4\]

Поскольку ускорением является вторая производная, имеем:

\[\omega =x''=9t-4\]

Приравняем полученное ускорение к нулю и выразим время t

\[9t-4=0\] \[t=\frac{4}{9} сек\]
Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис