Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

В чем заключается физический смысл производной

Все предметы / Математика / В чем заключается физический смысл производной

Допустим, известна траектория движения некоторого тела, причём эта траектория является функцией времени. Тогда среднюю скорость движения тела можно узнать по формуле $v_{ср} = \frac{s(t)}{t}$.

Замечание 1

Физический (или иначе его называют механическим) смысл производной состоит в том, что производная представляет собой мгновенную скорость движения некоторого тела по траектории $s(t)$ в момент времени $t$. То есть, в данном случае производная определяется от пути по времени.

$v= s’(t)$.

Если же найти производную от скорости, то можно будет также найти такую величину, как ускорение, которое является мгновенным изменением скорости в некоторый момент времени.

Разберём примеры решений с использованием физического смысла производной.

Пример 1

Движение шарика можно описать по закону $S(t) = 3t^5 - 2t^4 + t^3 + 7$. Какова скорость этого шарика?

Решение:

Для решения задачи найдём производную от уравнения, описывающего путь:

$v(t)=S’(t) = (t^5 - 2t^4 - t^3 + 7 )’= 5 t^4 - 8t^3 - 3t^2$.

Ответ: скорость движения шарика описывается уравнением $v(t) = 5 t^4 - 8t^3 - 3t^2$.

Пример 2

Опишите, как выглядит закон изменения скорости из предыдущего примера.

Решение:

Мгновенное изменение скорости — это ускорение, оно является второй производной от уравнения пути. Соответственно, для того чтобы определить, чему оно равно, найдём производную от уже известного уравнения скорости:

$a(t)= v’(t) = (5 t^4 - 8t^3 - 3t^2)’ = 20 t^3 + 24 t^2 - 6t$.

Ускорение для шарика будет подчиняться закону $a(t) = 60 t^3 - 24 t^2 - 6t$.

Пример 3

Найдите, чему будет равно значение скорости для шарика в момент времени $t= 5 $ c.

Решение:

Для того чтобы узнать, чему будет равна скорость при $t=5$ с, подставим это число в полученную производную:

$v(5) = 15 t^4 - 8t^3 - 3t^2=5 \cdot 5^4 - 8 \cdot 5^3 – 3 \cdot 5^2 = 3125 – 1000 – 75= 2050$ м/с.

Пример 4

Тело переместилось на 242 метра в некоторый момент времени, заданный в секундах, а его путь описывается уравнением $S(t) = 3t^2 – 1$. Узнайте, какова скорость данного тела на момент заданного пройденного расстояния.

Решение:

Для начала нужно найти время, за которое тело переместилось на заданное расстояние. Подставим для этого число $242$ в уравнение:

$3t^2 – 1 = 242$;

$3t^2 = 243$;

$t^2 = 81$;

$t = 9$.

Теперь в общем виде узнаем, как изменяется скорость, для этого найдём производную от пути по времени:

$v(t)=S’(t) = (3t^2 – 1)’ = 6 t$.

Подставим найденное время в уравнение для скорости:

$v(9) = 6 \cdot 9 = 54$ м/с.

Ответ: 54 м/с.

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Щебетун Виктор

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис