Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Элементы теории множеств

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Все предметы / Математика / Элементы теории множеств

Если ряд объектов объединяются в одно целое по некоторому признаку, то говорят, что речь идет о совокупности - например, команда хоккеистов. Например совокупность книг называют- библиотекой, собрание музыкантов- оркестром, большое скопление людей- толпой

Определение 1

В математике для обозначения подобных совокупностей употребляют термин - множество. Т.е. математическим понятием, отражающим объединение некоторых объектов, предметов или понятий в единую совокупность, является понятие множества. Данное понятие является первичным, неопределяемым, таким же, как понятие точки и прямой в геометрии - значит, к более простым понятиям оно не сводится.

С рядом множеств вы уже знакомы: множество целых чисел, множество двузначных чисел, множество дробей со знаменателем $10$ и Т.Д.

Термин множество употребляется тогда, когда речь идет о нечисловых множеств. Например, говорят о множестве диагоналей многоугольника, о множестве точек на координатной прямой, о множестве прямых, проходящих через точку.

Предметы или объекты, образующие данное множество, называются его элементами. Например, число $5$ будет являться элементом множества натуральных чисел, а число $0,75$ не будет являться элементом множества натуральных чисел.

Виды множеств

Множества могут быть конечными и бесконечными, пустыми.

Пример 1

Например, множество двузначных чисел - конечно, т.к. содержит $90$ элементов, а множество рациональных чисел - бесконечное множество.

Определение 2

Конечным называют множество, состоящее из конечного числа элементов, но при этом конечное множество может иметь любое количество элементов.

Определение 3

Среди конечных множеств выделяют множество, не имеющее ни одного элемента. Такое множество называется пустым множеством.

Пример 2

Примером пустого множества может служить множество простых чисел, заключенных между числами $32$ и $37$.Так так таких элементов нет, то такое множество - это множество, которое называют пустым множеством. То есть пустое множество, это множество, не содержащие ни одного элемента.

Множество, не являющееся конечным называют бесконечным множеством.

Обозначение множеств и их элементов

Чаще всего множества обозначаются латинскими буквами- $A, B, C, B, C, D, X ,Y ,Z ,W$ и Т.Д.

Элементы множеств обозначаются строчными буквами $a,b,c,d,x,y,z$ и Т.Д.

Записать принадлежность некоторого элемента к некоторому множеству, например то, что некоторой элемент $a$ будет входить в множество $A$ математически можно так: $a\in A$.Прочитать данную запись можно так: a принадлежит множеству $A$.

Если же некоторый элемент, например $b$ не принадлежит множеству $B$, то это записывается так: $b\notin B$.Читают эту запись так: $b$ не принадлежит множеству $B$.

Пример 3

Например, если обозначить множество целых чисел за $A$, что тогда можно записать: $3\in A$, $7,5\notin B$

Пустое множество в математике обозначают так: ᴓ.

Способы задания множеств

Существует два глобально различных способа задания множеств.

Первый заключается в том, что множество задается указанием всех его элементов. В таком случае говорят, что множество задано перечислением всех своих элементов или списком своих элементов. Перечислением элементов можно задать только конечные множества и при небольшом количестве элементов, входящих в него.

Конечные множества с небольшим количеством элементов обычно записывают в фигурных скобках $\left\{a,b,c\right\}$

Если множество состоит на пример из $3$ элементов $a,b,c$ его можно обозначить так:$\left\{a,b,c\right\}$

При таком способе задания множеств говорят, что множество задано перечислением его элементов.

Замечание 1

Обратим внимание, что каждый из указанных элементов входит во множество только один раз. Например, $\left\{a,b,b,c\right\}$ не будет являться множеством, потому что элемент $b$ включен дважды.

Второй способ задания множеств применим как для конечных. Так и для бесконечных множеств. Он заключается в том, что указывается свойство, которым обладает каждый элемент данного множества

В случае если задание множества перечислением элементов невозможно, т. е для обозначения бесконечного множества и для обозначения конечного множества с большим количеством элементов множество задают описанием, т.е. указав его характеристическое свойство, т. е свойство, которым обладают все элементы этого множества и не обладают никакие другие объекты.

Пример 4

Например, с помощью описания можно задать такие множество натуральных чисел от $1$ до $9$ включительно. Характеристическим свойством, т. е. свойством, которым обладают все элементы этого множества для данных элементов будет являться то, сто все они являются натуральными числами и каждое из них не меньше $1$ и не больше $9$. Перечислением указанное множество можно задать следующим образом:

$A=\left\{1\ ,2\ ,3,4,5,6,7,8,9\right\}$

Равенство множеств

Множества равны в том случае, если равны их элементы. При этом если множества состоят из одних и тех же элементов, но записанных в разном порядке то эти множества различны, хотя и равны.

Пример 5

Например, рассмотрим множества

$A=\left\{1\ ,2\ ,3,4,5,6,7,8,9\right\}$

$B=\left\{9,8,7,6,5,4,3,2,1\right\}$

Эти множества будут, состоят из равных элементов, значит, они будут равны, но при этом элементы расположены в разном порядке, т.е. множества различны.

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис