Напомним сначала, что такое производная.
Если существует конечный предел отношения приращения функции $f(x)$ в точке $x_0$ к приращению аргумента $\triangle x$, при $\triangle x\to 0$, то он называется производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.
\[{\mathop{lim}_{\triangle x\to 0} \frac{f\left(x_0+\triangle x\right)-f\left(x_0\right)}{\triangle x}\ }={\mathop{lim}_{\triangle x\to 0} \frac{\triangle y}{\triangle x}\ }\]Рассмотрим теперь геометрический смысл понятия производной (рис. 1).
Пусть функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x_0\in X$. Рассмотрим точку $M_0(x_0,f\left(x_0\right))\in f(x)$. Придадим $x_0$ приращение $\triangle x$, получим точку
$M(x_0+\triangle x,f\left(x_0+\triangle x\right))\in f(x)$. Мы видим, что
То есть $\left|MN\right|$ - приращение данной функции. Очевидно, что $\frac{\triangle y}{\triangle x}=tg\alpha $
Где $\alpha $ - угол наклона касательной к графику функции $f(x)$ в точке $M_0$. Таким образом, получаем
Геометрический смысл производной представляет собой угловой коэффициент касательной функции $f(x)$ в точке $x_0$. Иначе - это тангенс угла наклона касательной к графику данной функции.
Решение задач на геометрический смысл производной
На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.
Рисунок 2.
Решение.
Так как по геометрическому смыслу производной $f'\left(x_0\right)=tg\alpha $, то нам нужно найти тангенс угла наклона касательной. Рассмотрим рисунок:
Рисунок 3.
Так как тангенс, по определению, отношение противолежащего катета прямоугольного треугольника к прилежащему, то получаем $f'\left(x_0\right)=tg\alpha =\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$
Ответ: $\frac{1}{4}$.
На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.
Рисунок 4.
Решение.
Так как по геометрическому смыслу производной $f'\left(x_0\right)=tg\alpha $, то нам нужно найти тангенс угла наклона касательной. Рассмотрим рисунок:
Рисунок 5.
Здесь нужно также отметить, что, на самом деле, угол между касательной и направлением оси $Ox$ - тупой, следовательно, нам необходимо принять производную со знаком «минус». Получаем: $f'\left(x_0\right)=-tg\alpha =-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}$
Ответ: $-\frac{1}{2}$.
