Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Возрастающая функция, убывающая функция

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Математика / Функции и способы задания функций / Возрастающая функция, убывающая функция
Возрастающая функция, убывающая функция

Экстремумы функции

Для того чтобы ввести понятие возрастающих и убывающих функций, вначале познакомимся с таким понятием, как экстремумы функций. Это понятие нам будет необходимо не для самого определения таких функций, а для построения схемы нахождения таких промежутков для конкретно заданных функций.

Определение 1

Точка $x'$ входящая в область определения функции называется точкой экстремума, если она либо будет точкой максимума, либо будет точкой минимума для функции $f(x)$.

Определение 2

Точка $x'$ будет называться точкой максимума для введенной функции $f(x)$, если у она имеет такую окрестность, что для всех точек $x$, которые входят в эту окрестность, будет верно $f(x)\le f(x'{\rm \ })$.

Определение 3

Точка $x'$ будет называться точкой минимума для введенной функции $f(x)$, если она имеет такую окрестность, что для всех точек $x$, которые входят в эту окрестность, будет верно $f(x)\ge f(x'{\rm \ })$.

Чтобы полностью разобраться в данном понятии, далее введем понятие критической точки функции.

Определение 4

Точка $x'$ будет называться критической точкой для данной функции $f(x)$, если выполняются два следующих условия:

  1. Точка $x'$ является внутренней точкой для области определения данной функции;
  2. $f'\left(x'{\rm \ }\right)=0$ или не существует.

Сформулируем без доказательства теоремы о необходимом (теорема 1) и достаточном (теорема 2) условии для существования точки экстремума.

Теорема 1

Если $y=f(x)$ имеет экстремум в точке $x_0$, то либо её производная в ней равняется нулю, либо производная в ней не существует.

Теорема 2

Пусть точка $x'$ будет критической для $y=f(x)$ и принадлежит интервалу $(a,b)$, причем на каждом интервале $\left(a,x'{\rm \ }\right)\ и\ (x'{\rm \ },b)$ производная $f'(x)$ существует и сохраняет один и тот же знак. В этом случае:

  1. Если в $(a,x'{\rm \ })$ $f'\left(x\right) >0$, а в $(x'{\rm \ },b)$ $f'\left(x\right)
  2. Если в $(a,x'{\rm \ })$ $f'\left(x\right)0$, то $x'$ --будет точкой минимума для этой функции.
  3. Если и в $(a,x'{\rm \ })$, и в $(x'{\rm \ },b)$ производная $имеет\ один\ и\ тот\ же\ постоянный\ знак$, то $x'$ не будет точкой экстремума для этой функции.

На рисунке 1 мы можем наглядно увидеть смысл теоремы 2.



Рисунок 1.

Примеры точек экстремумов вы можете видеть на рисунке 2.



Рисунок 2.

Правило исследования на экстремум

  1. Найти $D(f)$;
  2. Найти $f'(x)$;
  3. Найти точки, где $f'\left(x\right)=0$;
  4. Найти точки, где $f'(x)$ не будет существовать;
  5. Отметить на координатной прямой $D(f)$ и все найденные в 3 и 4 пункте точки;
  6. Определить знак $f'(x)$ на полученных промежутках;
  7. Используя теорему 2, сделать заключение по поводу всех найденных точек.

Возрастание и убывание функции

Определение 5

Функция $y=f(x)$, которая имеет своей областью определения множество $X$, будем называть возрастающей, если для любых точек $x_1,x_2\in X$ при $x_1

Определение 6

Функция $y=f(x)$, которая имеет своей областью определения множество $X$, будем называть убывающей, если для любых точек $x_1,x_2\in X$ при $x_1f(x_2)$.

Чаще всего функции исследуют на возрастание и убывание с помощью средств математического анализа, а именно производной.

Приведем схему для такого исследования.

  1. \item Найти $D(f)$;
  2. Найти $f'(x)$;
  3. Найти точки, где $f'\left(x\right)=0$;
  4. Найти точки, где $f'(x)$ не будет существовать;
  5. Отметить на координатной прямой $D(f)$ и все найденные выше точки;
  6. Определить знак $f'(x)$ на всех получившихся промежутках;
  7. Сделать вывод: там, где $f'\left(x\right)0$ функция будет возрастать.

Пример задачи

Пример 1

Исследовать функцию на монотонность. $f(x)={4x}^3-30x^2+72x+13$

  1. $D\left(f\right)=R$;
  2. $f'\left(x\right)=12x^2-60x+72$;
  3. $f'\left(x\right)=0$;

    \[12x^2-60x+72=0\] \[x^2-5x+6=0\] \[x=3,\ x=2\]
  4. $f'(x)$ существует во всей $D(f)$;



  5. Рисунок 3.

  6. \[f'\left(x\right) >0,\ при\ \left(-\infty ,2\right)\ (3,+\infty )\] \[f'\left(x\right)
  7. Изображая все на одном рисунке, получим:



    Рисунок 4.

Вывод:

Функция будет возрастать в промежутках $\left(-\infty ,2\right)\ (3,+\infty )$, функция будет убывать в промежутках $\left(2,3\right)$.

comments powered by HyperComments