Вы будете перенаправлены на Автор24
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
Для того чтобы ввести понятие возрастающих и убывающих функций, вначале познакомимся с таким понятием, как экстремумы функций. Это понятие нам будет необходимо не для самого определения таких функций, а для построения схемы нахождения таких промежутков для конкретно заданных функций.
Точка $x'$ входящая в область определения функции называется точкой экстремума, если она либо будет точкой максимума, либо будет точкой минимума для функции $f(x)$.
Точка $x'$ будет называться точкой максимума для введенной функции $f(x)$, если у она имеет такую окрестность, что для всех точек $x$, которые входят в эту окрестность, будет верно $f(x)\le f(x'{\rm \ })$.
Точка $x'$ будет называться точкой минимума для введенной функции $f(x)$, если она имеет такую окрестность, что для всех точек $x$, которые входят в эту окрестность, будет верно $f(x)\ge f(x'{\rm \ })$.
Чтобы полностью разобраться в данном понятии, далее введем понятие критической точки функции.
Ничего непонятно?
Попробуй обратиться за помощью к преподавателям
Точка $x'$ будет называться критической точкой для данной функции $f(x)$, если выполняются два следующих условия:
Сформулируем без доказательства теоремы о необходимом (теорема 1) и достаточном (теорема 2) условии для существования точки экстремума.
Если $y=f(x)$ имеет экстремум в точке $x_0$, то либо её производная в ней равняется нулю, либо производная в ней не существует.
Пусть точка $x'$ будет критической для $y=f(x)$ и принадлежит интервалу $(a,b)$, причем на каждом интервале $\left(a,x'{\rm \ }\right)\ и\ (x'{\rm \ },b)$ производная $f'(x)$ существует и сохраняет один и тот же знак. В этом случае:
На рисунке 1 мы можем наглядно увидеть смысл теоремы 2.
Рисунок 1.
Примеры точек экстремумов вы можете видеть на рисунке 2.
Рисунок 2.
Функция $y=f(x)$, которая имеет своей областью определения множество $X$, будем называть возрастающей, если для любых точек $x_1,x_2\in X$ при $x_1
Функция $y=f(x)$, которая имеет своей областью определения множество $X$, будем называть убывающей, если для любых точек $x_1,x_2\in X$ при $x_1f(x_2)$.
Чаще всего функции исследуют на возрастание и убывание с помощью средств математического анализа, а именно производной.
Приведем схему для такого исследования.
Исследовать функцию на монотонность. $f(x)={4x}^3-30x^2+72x+13$
$f'\left(x\right)=0$;
\[12x^2-60x+72=0\] \[x^2-5x+6=0\] \[x=3,\ x=2\]$f'(x)$ существует во всей $D(f)$;
Рисунок 3.
Изображая все на одном рисунке, получим:
Рисунок 4.
Вывод:
Функция будет возрастать в промежутках $\left(-\infty ,2\right)\ (3,+\infty )$, функция будет убывать в промежутках $\left(2,3\right)$.