Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

График производной

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
График производной

Рассмотрим и сравним график функции и ее производной (рис.1)

График производной

Рисунок 1. График производной

Свойства графика производной

  1. На интервалах возрастания производная положительна. Если производная в определённой точке из некоторого интервала имеет положительное значение, то график функции на этом интервале возрастает.
  2. На интервалах убывания производная отрицательна (со знаком минус). Если производная в определённой точке из некоторого интервала имеет отрицательное значение, то график функции на этом интервале убывает.
  3. Производная в точке х равна угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику функции в этой же точке.
  4. В точках максимума-минимума функции производная равна нулю. Касательная к графику функции в этой точке параллельна оси ОХ.
Пример 1

По графику (рис.2) производной определить, в какой точке на отрезке [-3; 5] функция максимальна.

График производной

Рисунок 2. График производной

Решение: На данном отрезке производная -- отрицательна, а значит, функция убывает слева направо, и наибольшее значение находится с левой стороны в точке -3.

Пример 2

По графику (рис.3) производной определить количество точек максимума на отрезке [-11; 3].

График производной

Рисунок 3. График производной

Решение: Точки максимума соответствуют точкам смены знака производной с положительного на отрицательный. На данном промежутке функция два раза меняет знак с плюса на минус -- в точке -10 и в точке -1. Значит количество точек максимума -- две.

Пример 3

По графику (рис.3) производной определить количество точек минимума отрезке [-11; -1].

Решение: Точки минимума соответствуют точкам смены знака производной с отрицательного на положительный. На данном отрезке такой точкой является только -7. Значит, количество точек минимума на заданном отрезке -- одна.

Пример 4

По графику (рис.3) производной определить количество точек экстремума.

Решение: Экстремумом являются точки как минимума, так и максимума. Найдем количество точек, в которых производная меняет знак:

  • Точка -10 (максимум)
  • Точка -7 (минимум)
  • Точка -1 (максимум)
  • Точка 2 (минимум)

Функция содержит 4 экстремума.

Пример 5

По графику (рис.4) производной определить количество целых точек на промежутке убывания.

График производной

Рисунок 4. График производной

Решение: Интервалам убывания соответствуют (-3,-1.5) и (4.5,6.5). Количество целых точек по прямой х: 2(на первом промежутке) и 2 (на втором промежутке).

Ответ: 4