Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Применение производной к построению графиков функций

Все предметы / Математика / Применение производной к исследованию функций / Применение производной к построению графиков функций

Понятие производной можно применять для построения графиков функций, так как с помощью производных мы можем выяснить промежутки возрастания и убывания, промежутки выпуклости и вогнутости функции, найти точки экстремума функции (точки минимума и максимума), а также наибольшее и наименьшее значения функции данной функции. Однако, помимо этих данных, для более точного построения графиков функции нам необходимы еще некоторые сведения. Поэтому вначале приведем схему исследования функций, которой и будем пользоваться в дальнейшем.

Схема для исследования функций

  1. Найти область определения функции;

  2. Найти область значения функции;

  3. Выяснить является ли функция четной, нечетной и периодической.

  4. Найти точки пересечения с осями координат;

  5. Выяснить промежутки знакопостоянства функции;

  6. Найти производную функции;

  7. Найти точки минимума и максимума функции;

  8. Найти промежутки монотонности функции;

  9. Найти наибольшее и наименьшее значение функции;

  10. Найти вторую производную функции;

  11. Найти промежутки выпуклости и вогнутости функции;

  12. Найти пределы функции на концах области определения;

  13. Если необходимо, найти значение функции в дополнительных точках;

  14. Построить график функции.

Задачи на исследование и построение графиков функций.

Пример 1

Исследовать и построить график функции:

\[y=2x+1\]
  1. Область определении - все действительные числа.

  2. Область значения - все действительные числа.

  3. функция ни четна, ни нечетна, непериодическая.

  4. Точки пересечения с осями координат:

    При $y=0$, $2x+1=0,\ x=-\frac{1}{2}$. Точка пересечения с осью $Ox:\left(-\frac{1}{2},0\right)$.

    При $x=0$, $y=1$. Точка пересечения с осью $Ox:\left(0,1\right)$.

  5. При $x\in \left(-\infty ,-\frac{1}{2}\right)$ функция отрицательна, при $x\in \left(-\frac{1}{2},\infty \right)$ функция положительна.

  6. Производная:

    \[y'=2>0\]
  7. Точек минимума и максимума нет.

  8. Функция возрастает на всей области определения.

  9. Функция не имеет наибольшего и наименьшего значений.

  10. $y''=0$

  11. Функция не имеет промежутков выпуклости и вогнутости.

  12. ${\mathop{lim}_{x\to -\infty } y\ }=-\infty $, ${\mathop{lim}_{x\to +\infty } y\ }=+\infty $

  13. График:



    Рисунок 1.

Готовые работы на аналогичную тему

Пример 2

Исследовать и построить график функции:

\[y=\frac{5x^2+x+1}{x}\]
  1. Область определения: $\left(-\infty ,0\right)(0,\infty )$.

  2. Область значения:$\left(-\infty ,1-2\sqrt{5}\right][1+2\sqrt{5},\infty )$

  3. Функция ни четна, ни нечетна, непериодическая.

  4. Точек пересечения с осями координат нет.При $x\in \left(-\infty ,0\right)$ функция отрицательна, при $x\in \left(0,\infty \right)$ функция положительна.

  5. При $x\in \left(-\infty ,0\right)$ функция отрицательна, при $x\in \left(0,\infty \right)$ функция положительна.

  6. Производная:

    \[y'=\frac{10x^2+x-5x^2-x-1}{x^2}=\frac{5x^2-1}{x^2}\]
  7. Найдем точки минимума:

    \[\frac{5x^2-1}{x^2}=0\] \[x\ne 0,\ x=\pm \frac{\sqrt{5}}{5}\]



    Рисунок 2.

    Максимум функции: $\left(-\frac{\sqrt{5}}{5},1-2\sqrt{5}\right)$

    Минимум функции: $\left(\frac{\sqrt{6}}{6},1+2\sqrt{5}\right)$

  8. Из рисунка выше видим, что функция возрастает при $x\in \left(-\infty ,-\frac{\sqrt{5}}{5}\right)\left(\frac{\sqrt{5}}{5},\infty \right)$ и убывает при $x\in \left(-\frac{\sqrt{5}}{5},0\right)\left(0,\frac{\sqrt{5}}{5}\right)$

  9. Наибольшее и наименьшее значение:

    $f\left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right)=1-2\sqrt{5}$ - наименьшее значение,

    $f\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)=1-2\sqrt{5}$ - наибольшее значение.

  10. $y''=\frac{{10x}^3-{10x}^3+2x}{x^4}=\frac{2}{x^3}$

  11. Найдем промежутки выпуклости и вогнутости:

    \[\frac{2}{x^3}=0\] \[x\ne 0\]

    Методом интервалов получаем, что

    Функция вогнута при $x\in \left(0,\infty \right)$ и выпукла при $x\in \left(-\infty ,0\right)$.

  12. ${\mathop{lim}_{x\to 0-0} y\ }=-\infty $, ${\mathop{lim}_{x\to 0+0} y\ }=+\infty $, ${\mathop{lim}_{x\to -\infty } y\ }=-\infty $, ${\mathop{lim}_{x\to +\infty } y\ }=+\infty $

  13. График:



Рисунок 3.

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Елена Борисовна Калюжная

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис