Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Определение производной

8-800-775-03-30 support@author24.ru

Центральные понятия дифференциального исчисления -- производная и дифференциал -- возникли при рассмотрении множества задач естествознания и математики, каждая из которых приводила к вычислению пределов одного типа.

Задача 1

Химическая реакция

Пусть некоторое вещество вступает в химическую реакцию. Количество этого вещества х, уже вступившее в реакцию к моменту времени t, есть функция от t. Приращению времени $\Delta $t будет соответствовать приращение $\Delta $x величины х, а средняя скорость химической реакции за промежуток $\Delta $t составит:

\[\frac{\Delta x}{\Delta t} \]

Тогда предел средней скорости реакции при стремлении $\Delta $t к нулю выражает скорость химической реакции в данный момент времени t.

Пример 1
Средняя скорость растворения соли в воде за промежуток времени [0; 5] изменяется по закону: \[v_{A@} =\frac{\Delta E}{\Delta t} =\frac{f(t_{1} )-f(t_{0} )}{t_{1} -t_{0} } =\frac{f(5)-f(0)}{5-0} \]

Таким образом, скорость растворения в данный момент времени:

\[v(t_{0} )=f`(t_{0} )\] \[v(0)=f`(0)\]
Задача 2

Теплоемкость тела

Если температура тела с массой в 1 кг повышается от t1 = 0 до t2 = $\omega $, то это происходит за счет того, что телу сообщается определенное количество тепла $Q$; значит $Q$ -- функция от температуры $\omega $, до которой тело нагревается:

Q = Q($\omega $)

Пусть температура повысилась с $\omega $ до $\Delta $$\omega $, тогда количество тепла будет равно:

Q = Q($\omega $ + $\Delta $$\omega $) - Q($\omega $)

Отношение $\Delta $Q/$\Delta $$\omega $ -- количество тепла, которое необходимо «в среднем» для нагревания тела на 10. Данное отношение носит название средней теплоемкости -- предела отношения приращения количества тепла к приращению температуры.

Готовые работы на аналогичную тему

Задача 3

Издержки производства

Пусть y -- издержки производства, а х -- количество продукции, тогда $\Delta $х -- прирост продукции, а $\Delta $y -- приращение издержек производства. В этом случае производная:

\[\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} \]

Выражает предельные издержки производства и приближенно -- дополнительные затраты на единицу продукции:

\[MC=\frac{\Delta TC}{\Delta Q} \]
Определение

Если отношение

\[\frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \]

Имеет конечный предел при стремлении приращения независимой переменной к 0, то такой предел называется производной функции f(х) при заданном х.

Иначе говоря, производной данной функции f(x) при заданном значении х, называется предел отношений $\frac{\Delta y}{\Delta x} $ приращения $\Delta $у функции к соответствующему приращению независимого переменного стремящегося к нулю.

\[f`(x)=\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \]

Производная функции - одно из основных понятий математики, а в математическом анализе производная наряду с интегралом занимает центральное место.

Процесс нахождения производной называется дифференцированием. Обратная операция - восстановление функции по известной производной -- интегрированием.

Для нахождения производной функции f(x) в точке x0 на основе определения следует выполнить следующие действия:

  1. Записать отношение
  2. \[\frac{\Delta y}{\Delta x} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \]
  3. Упростить дробь, сократив ее, если возможно, на $\Delta $x;
  4. Найти производную f'(x0), вычисляя предел полученного выражения. Если данный предел существует, то говорят, что функция f(x) дифференцируема в точке x0.
Пример 2

Найти производную функции по алгоритму определения

\[y=\ln x\]

Решение.

\[\frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} =\frac{\ln (x+\Delta x)-\ln (x)}{\Delta x} =\frac{\ln (\frac{x+\Delta x}{x} )}{\Delta x} =\] \[=\frac{1}{\Delta x} \ln (1+\frac{\Delta x}{x} )\]

Введем новую переменную u = x/$\Delta $х, которая стремится к бесконечности, и найдем предел новой функции

\[\mathop{\lim }\limits_{u\to \infty } \frac{u}{x} \ln (1+\frac{1}{u} )=\mathop{\lim }\limits_{u\to \infty } \frac{1}{x} \ln (1+\frac{1}{u} )^{u} =\frac{1}{x} \mathop{\lim }\limits_{u\to \infty } \ln (1+\frac{1}{u} )^{u} =\frac{1}{x} \ln e=\frac{1}{x} \]
Пример 3

Найти производную функции по алгоритму определения

\[f(x)=6x^{2} \]

Решение.

\[\frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{6(x+\Delta x)^{2} -6x^{2} }{\Delta x} =\frac{6(x^{2} +2x\Delta x+\Delta x^{2} )-6x^{2} }{\Delta x} \] \[\frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{6x^{2} +12x\Delta x+6\Delta x^{2} -6x^{2} }{\Delta x} =12x+6\Delta x\]

Найдем предел приращения при его стремлении к 0:

\[f`(x)=\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} =12x+6\Delta x=12x+6*0=12x\]

Ответ: Производная функции равна 6х.

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис