Справочник Автор24
Статьи от экспертов
Математика
Ряды
Знакопеременные ряды, абсолютная и условная сходимость

Знакопеременные ряды, абсолютная и условная сходимость

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Определение 1

Числовой ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n}$ , члены которого имеют произвольные знаки (+), (?), называется знакопеременным рядом.

Рассмотренные выше знакочередующиеся ряды являются частным случаем знакопеременного ряда; понятно, что не всякий знакопеременный ряд является знакочередующимся. Например, ряд $1-\frac{1}{2} -\frac{1}{3} +\frac{1}{4} +\frac{1}{5} -\frac{1}{6} -\frac{1}{7} +\ldots -$ знакопеременный, но не являющийся знакочередующимся рядом.

Отметим, что в знакопеременном ряде членов как со знаком (+), так и со знаком (-) бесконечно много. Если это не выполняется, например, ряд содержит конечное число отрицательных членов, то их можно отбросить и рассматривать ряд, составленный только из положительных членов, и наоборот.

Определение 2

Если числовой ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n}$ сходится и его сумма равна S,а частичная сумма равна $S_n$ , то $r_{n} =S-S_{n}$ называется остатком ряда, причём $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } r_{n} =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } (S-S_{n} )=S-S=0$ , т.е. остаток сходящегося ряда стремится к 0.

Определение 3

Ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n}$ называется сходящимся абсолютно, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right|$ .

Определение 4

Если числовой ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n}$ сходится, а ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right|$ , составленный из абсолютных величин его членов, расходится, то исходный ряд называется условно (неабсолютно) сходящимся.

Теорема 1 (достаточный признак сходимости знакопеременных рядов)

Знакопеременный ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n}$ сходится, причём абсолютно, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right|$ .

«Знакопеременные ряды, абсолютная и условная сходимость» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Найти

Замечание

Теорема 1 даёт только достаточное условие сходимости знакопеременных рядов. Обратная теорема неверна, т.е. если знакопеременный ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n}$ сходится, то не обязательно, что сходится ряд, составленный из модулей $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right|$ (он может быть как сходящимся, так и расходящимся). Например, ряд $1-\frac{1}{2} +\frac{1}{3} -\frac{1}{4} +...=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n-1} }{n}$ сходится по признаку Лейбница, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \frac{1}{n}$ (гармонический ряд) расходится.

Свойство 1

Если ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n}$ абсолютно сходится, то он абсолютно сходится при любой перестановке его членов, при этом сумма ряда не зависит от порядка расположения членов. Если $S'$ - сумма всех его положительных членов, а $S''$ - сумма всех абсолютных величин отрицательных членов, то сумма ряда $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n}$ равна $S=S'-S''$ .

Свойство 2

Если ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n}$ абсолютно сходится и $C={\rm const}$ , то ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }C\cdot u_{n}$ также абсолютно сходится.

Свойство 3

Если ряды $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n}$ и $\sum \limits _{n=1}^{\infty }v_{n}$ абсолютно сходятся, то ряды $\sum \limits _{n=1}^{\infty }(u_{n} \pm v_{n} )$ также абсолютно сходятся.

Свойство 4 (теорема Римана)

Если ряд условно сходится, то какое бы мы не взяли число А, можно переставить члены данного ряда так, чтобы его сумма оказалась в точности равной А; более того, можно так переставить члены условно сходящегося ряда, чтобы после этого он расходился.

Пример 1

Исследовать на условную и абсолютную сходимость ряд

$\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot 9^{n} }{n!} .$

Решение. Данный ряд является знакопеременным, общий член которого обозначим: $\frac{(-1)^{n} \cdot 9^{n} }{n!} =u_{n}$ . Составим ряд из абсолютных величин $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!}$ и применим к нему признак Даламбера. Составим предел $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} }$ , где $a_{n} =\frac{9^{n} }{n!}$ , $a_{n+1} =\frac{9^{n+1} }{(n+1)!}$ . Проведя преобразования, получаем $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n+1} \cdot n!}{(n+1)!\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n} \cdot 9\cdot n!}{n!\cdot (n+1)\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9}{n+1} =0$ . Таким образом, ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!}$ сходится, а значит, исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.Ответ: ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot 9^{n} }{n!}$ абсолютно сходится.

Пример 2

Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot \sqrt{n} }{n+1}$ .

Решение.

Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Обозначим $\frac{(-1)^{n} \cdot \sqrt{n} }{n+1} =u_{n}$ и составим ряд из абсолютных величин $a_{n} =\left|u_{n} \right|=\frac{\sqrt{n} }{n+1}$ . Получаем ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \frac{\sqrt{n} }{n+1}$ с положительными членами, к которому применяем предельный признак сравнения рядов. Для сравнения с рядом $\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n} =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \frac{\sqrt{n} }{n+1}$ рассмотрим ряд, который имеет вид $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, b_{n} =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \frac{1}{\sqrt{n} } \,$ . Этот ряд является рядом Дирихле с показателем $p=\frac{1}{2}
Далее исследуем исходный ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot \sqrt{n} }{n+1}$ на условную сходимость. Для этого проверим выполнение условий признака Лейбница. Условие 1): $u_{n} =(-1)^{n} \cdot a_{n}$ , где $a_{n} =\frac{\sqrt{n} }{n+1} >0$ , т.е. этот ряд знакочередующийся. Для проверки условия 2) о монотонном убывании членов ряда используем следующий метод. Рассмотрим вспомогательную функцию $f(x)=\frac{\sqrt{x} }{x+1}$ , определенную при $x\in [0;\, +\infty )$ (функция такова, что при $x=n$ имеем $f(n)=\frac{\sqrt{n} }{n+1} =a_{n}$ ). Для исследования этой функции на монотонность найдём её производную: $f'(x)=\frac{\frac{x+1}{2\sqrt{x} } -\sqrt{x} }{(x+1)^{2} } =\frac{1-x}{2\sqrt{x} (x+1)^{2} }$ . Эта производная $f'(x)1$ . Следовательно, функция $f(x)=\frac{\sqrt{x} }{x+1}$ монотонно убывает при указанных значениях х. Полагая $x=n f(n+1)=a_{n+1}$ , где $n=1,\, 2,\, 3,\, 4,\, \, ...$ . Это означает, что условие 2) выполнено. Для проверки условия 3) находим предел общего члена $a_{n}$ : $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \, a_{n} =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{\sqrt{n} }{n+1} =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{1}{\sqrt{n} +\frac{1}{\sqrt{n} } } =0$ , т.е. третье условие выполняется. Таким образом, для исходного ряда выполнены все условия признака Лейбница, т.е. он сходится.