Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Нормальное распределение, нормальная кривая

Все предметы / Математика / Нормальное распределение / Нормальное распределение, нормальная кривая

Определение нормального распределения.

Определение 1

Случайная величина $X$ имеет нормальное распределение, если плотность её распределения определяется формулой:

\[\varphi \left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }e^{\frac{-{(x-a)}^2}{2{\sigma }^2}}\]

где $a?R$, а $\sigma >0$ -- константы.

Разберем теперь, какой смысл имеют константы $a$ и $\sigma $.

Для этого попробуем найти числовые характеристики для данного распределения. Начнем с математического ожидания.

Сделаем замену: $\frac{x-a}{\sigma }=t,\ x=\sigma t+a,\ dx=\sigma dt$.

$\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{e^{\frac{-t^2}{2}}dt}$ - это функция плотности распределения некоторой случайной величины, следовательно:

Из этого сего получим:

!!! То есть константа $a$ в определении 1 -- это математическое ожидание данного распределения.

Найдем теперь дисперсию:

Сделаем замену: $\frac{x-a}{\sigma }=t,\ x=\sigma t+a,\ dx=\sigma dt$.

Используя вычисления неопределенного интеграла и тот факт, что $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{e^{\frac{-t^2}{2}}dt}=1$, то есть $\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{e^{\frac{-t^2}{2}}dt}=\sqrt{2\pi }$, получим:

Найдем теперь среднее квадратическое отклонение:

!!! То есть константа $\sigma $ в определении 1 -- это среднее квадратическое отклонение данного распределения.

Нормальная кривая

Определение 2

Нормальной кривой (или кривой Гаусса) называется график функции плотности нормального распределения $\varphi (x)$

Исследуем данную функцию и определим вид ее графика:

  1. Область определения: $\left(-\infty ,+\infty \right)$.

  2. Область значения: $(0,\ \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }]$.

  3. $\varphi \left(x\right)>0,$ график функции расположен выше оси $Ox)$

  4. При $x=0,$ $\varphi \left(0\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }e^{\frac{-{(0-a)}^2}{2{\sigma }^2}}=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }e^{\frac{-a^2}{2{\sigma }^2}}$.\

  5. $\varphi \left(x\right)$ непрерывна на всей области определения.

  6. $\varphi '\left(x\right)={\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }e^{\frac{-{\left(x-a\right)}^2}{2{\sigma }^2}}\right)}'=-\frac{x-a}{\sqrt{2\pi }{\sigma }^3}\cdot e^{\frac{-{\left(x-a\right)}^2}{2{\sigma }^2}}$

Готовые работы на аналогичную тему

Точка $(a,\ \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma })$ -- точка максимума.

Функция $\varphi \left(x\right)$ убывает, при $x>a$, и возрастает, при $x

  1. График симметричен относительно прямой $x=a$.

  2. $\varphi ''\left(x\right)={\left(-\frac{x-a}{\sqrt{2\pi }{\sigma }^3}\cdot e^{\frac{-{\left(x-a\right)}^2}{2{\sigma }^2}}\right)}'=-\frac{1}{\sqrt{2\pi }{\sigma }^3}\cdot e^{\frac{-{\left(x-a\right)}^2}{2{\sigma }^2}}\cdot \left(1-\frac{{\left(x-a\right)}^2}{{\sigma }^2}\right)$

Функция $\varphi \left(x\right)$ имеет точки перегиба при $x=a\pm \sigma $.

  1. Примерный вид кривой (рис. 1):

График плотности нормального распределения.

Рисунок 1. График плотности нормального распределения.

Пример задач на нормальное распределение вероятности

Пример 1

Нормальное распределение вероятности задана следующей функцией плотности распределения:

\[\varphi \left(x\right)=\frac{1}{0,3\sqrt{2\pi }}e^{\frac{-{(x-2)}^2}{2{\sigma }^2}}\]

Найдем математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Решение:

Используя определение 1 сразу найдем

Математическое ожидание: $M\left(X\right)=a=2$.

Среднее квадратическое распределение: $\sigma \left(X\right)=\sigma =0,3$.

Тогда получим, что дисперсия: $D\left(X\right)={\sigma }^2$=0,09.

Пример 2

Длина стержня $X$ представляет собой случайную непрерывную величину. $X$ распределена по нормальному закону распределения среднее значение которого равно $30$ мм, а среднее квадратическое отклонение равно $0,2$ мм. Найти плотность распределения такой случайной величины и построить её график:

Решение:

Из условия имеем: $a=30,\ \sigma =0,2$.

Тогда по определению 1, получим:

\[\varphi \left(x\right)=\frac{1}{0,2\sqrt{2\pi }}e^{\frac{-{(x-30)}^2}{0,08}}\]

Найдем точку максимума: $\left(a,\ \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\right)=\left(30,\frac{1}{0,2\sqrt{2\pi }}\right)$

График имеет вид:



Рисунок 2.

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Елена Борисовна Калюжная

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис