Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Понятие многогранника. Призма

Понятие многогранника

Определение 1

Многогранником называется геометрическое тело в пространстве, которое ограниченно несколькими многоугольниками.

Примеры многогранников Вы можете видеть на рисунке 1.

Примеры многогранников

Рисунок 1. Примеры многогранников

При этом многоугольники, из которых состоят многогранники, называют гранями многогранника, стороны многоугольников -- сторонами многогранника, а вершины многоугольников -- вершинами многогранника.

Определение 2

Если многогранник всегда будет лежать по одну сторону от любой плоскости его граней, то многогранник называется выпуклым (рис. 2).

Выпуклый многогранник

Рисунок 2. Выпуклый многогранник

Рассмотрим далее детально, как пример выпуклого многогранника, призму.

Призма

Определение 3

Геометрическая фигура, образованная двумя равными nугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, вершины которых соединены между собой так, что соответствующая вершина первого nугольника соединена с соответствующей вершиной второго nуголника, называется призмой (рис. 3).

Призма

Рисунок 3. Призма

Параллельные nуголники называются основаниями призмы, параллелограммы их соединяющие -- боковыми гранями, стороны параллелограммов -- сторонами призмы, а вершины nугольников -- вершинами призмы.

В зависимости от количества углов в основании призмы ее можно назвать треугольной, четырехугольной и так далее (рис. 4).



Рисунок 4.

«Понятие многогранника. Призма» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Найти
Замечание 1

Отметим, что параллелепипед является частным случаем четырехугольной призмы.

Определение 4

Призма, у которой все двугранные углы равны 900 называется прямой (рис. 5). В противном же случае она является наклонной.

Прямая призма

Рисунок 5. Прямая призма

Определение 5

Прямая призма, в основании которой лежат правильные nуголники называется правильной (рис. 6).



Рисунок 6.

Площадь призмы

Полная площадь призмы определяется следующим образом

где Sбокбок - сумма площадей всех ее боковых граней, а Sосносн - площадь основания данной призмы.

Рассмотрим и докажем следующую теорему.

Площадь боковой поверхности прямой призмы определяется как произведение периметра основания данной призмы на ее высоту.

Доказательство.

Рассмотрим прямую nугнольную призму, длины оснований которой равны a1, a2,,an соответственно. Как мы знаем, высота прямой призмы равняется боковой стороне данной призмы. Обозначим её через h. Тогда, так как боковые грани являются прямоугольниками, площади боковых граней равняются, соответственно

S1=a1h, S2=a2h,,Sn=anh

Так как площадь боковой поверхности -- сумма площадей всех боковых граней, то

Sбок=S1+S2++Sn=a1h+a2h++anh=h(a1+a2++an)=Pоснh
бокосн

Теорема доказана.

Объем призмы

Теорема 2

Объем призмы определяется как произведение площади основания этой призмы на высоту.

Доказательство.

Рассмотрим произвольную призму, проведем в ней высоту и построим ось Ox через эту высоту, считая началом координат точку O основания высоты (рис. 7).



Рисунок 7.

Проводя сечения, перпендикулярно Ox будем получать многоугольники с S(x)=Sосносн. Используя формулу для вычисления объема тел, получим

V=h0Sоснdx=Sоснx|h0=SоснhSосн0=Sоснh

ч. т. д.

Пример задачи

Пример 1

Найти полную площадь и объем прямой призмы с равнобедренным треугольником при основании и высотой h=5, если боковая сторона треугольника равна 2, а угол между ними равен 300.

Решение.

Так как боковая сторона основания равна 2, а угол между ними равен 300. То

Sосн=1222sin300=212=1

По теореме косинуса, третья сторона треугольника равна

a=22+22222cos300=4+443=223

По теореме 1

Sбок=(2+2+223)5=10(2+23)

По теореме 2, получим

V=15=5

Ответ: 5.

Дата последнего обновления статьи: 27.04.2024
Получи помощь с рефератом от ИИ-шки
ИИ ответит за 2 минуты
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Понятие многогранника. Призма"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant