Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Призма

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Призма

Понятие призмы

Определение 1

Геометрическая фигура, образованная двумя равными $n-$угольниками, лежащими в параллельных плоскостях, вершины которых соединены между собой так, что соответствующая вершина первого $n-$угольника соединена с соответствующей вершиной второго $n-$уголника, называется призмой (рис. 1).

Призма

Рисунок 1. Призма

Параллельные $n-$уголники называются основаниями призмы, параллелограммы их соединяющие -- боковыми гранями, стороны параллелограммов -- сторонами призмы, а вершины $n-$угольников -- вершинами призмы.

Виды призм

В зависимости от количества углов в основании призмы ее можно назвать треугольной, четырехугольной и так далее (рис. 2).



Рисунок 2.

Готовые работы на аналогичную тему

Отметим, что параллелепипед является частным случаем четырехугольной призмы.

Определение 2

Призма, у которой все двугранные углы равны ${90}^0$ называется прямой (рис. 3). В противном же случае она является наклонной.

Прямая призма

Рисунок 3. Прямая призма

Определение 3

Прямая призма, в основании которой лежат правильные $n-$уголники называется правильной (рис. 4).



Рисунок 4.

Площадь призмы

Полная площадь призмы определяется следующим образом

где $S_{бок}$ - сумма площадей всех ее боковых граней, а $S_{осн}$ - площадь основания данной призмы.

Рассмотрим и докажем следующую теорему.

Теорема 1

Площадь боковой поверхности прямой призмы определяется как произведение периметра основания данной призмы на ее высоту.

Доказательство.

Рассмотрим прямую $n-$угнольную призму, длины оснований которой равны $a_1,\ a_2,\dots ,a_n$ соответственно. Как мы знаем, высота прямой призмы равняется боковой стороне данной призмы. Обозначим её через $h$. Тогда, так как боковые грани являются прямоугольниками, площади боковых граней равняются, соответственно

Так как площадь боковой поверхности -- сумма площадей всех боковых граней, то

Теорема доказана.

Объем призмы

Теорема 2

Объем прямой призмы с прямым треугольником при основании определяется как произведение площади его основания на высоту.

Доказательство.

Рассмотрим прямую призму $ABDA_1B_1D_1$ c прямоугольным треугольником при основании. Дополним его до прямоугольного параллелепипеда (рис. 5)



Рисунок 5.

Следовательно,

Теорема доказана.

Теорема 3

Объем прямой призмы определяется как произведение площади его основания на высоту.

Доказательство.

  1. Рассмотрим прямую треугольную призму $ABDA_1B_1D_1$. Разделим ее на две призмы с прямыми треугольниками при основании с объемами $V_1\ и\ V_2$ ($BC$ и $B_1C_1$ -- высоты оснований) (рис. 6).



    Рисунок 6.

    По теореме 2, получим

    \[V_{пр}=V_1+\ V_2=S_{ABC}h+S_{DBC}h={h(S}_{ABC}+S_{DBC})=S_{осн}h\]
  2. Любую призму мы всегда может разделять на несколько прямоугольных призм, следовательно эта формула верна для произвольно размерной прямой призмы.

Теорема доказана.

Пример задачи

Пример 1

Найти объем прямой призмы с равнобедренным треугольником при основании и высотой $h=3$, если боковая сторона треугольника равна $4$, а угол между ними равен ${30}^0$.

Решение.

Так как боковая сторона основания равна $3$, а угол между ними равен ${30}^0$. То

\[S_{осн}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4\cdot sin{30}^0=8\cdot \frac{1}{2}=4\]

По теореме 3, получим

\[V=4\cdot 3=12\]

Ответ: $12.$