Основные положения
В общем виде дифференциальное уравнение $n$-го порядка записывается уравнением в неявной форме $F\left(x,y,y',\ldots ,y^{\left(n\right)} \right)=0$, которое связывает аргумент, неизвестную функцию, а также ее производные с первого по $n$-й порядок включительно.
Если это уравнение разрешимо относительно старшей производной, то его записывать также в форме $y^{\left(n\right)} =f\left(x,y,y',\ldots ,y^{\left(n-1\right)} \right)$.
Задача Коши для дифференциального уравнения $y^{\left(n\right)} =f\left(x,y,y',\ldots ,y^{\left(n-1\right)} \right)$ является задачей поиска решения $y=y\left(x\right)$, удовлетворяющего начальным условиям $y\left(x_{0} \right)=y_{0} $, $y'\left(x_{0} \right)=y'_{0} $, \dots , $y^{\left(n-1\right)} \left(x_{0} \right)=y_{0}^{\left(n-1\right)} $.
Общее решение уравнения $y^{\left(n\right)} =f\left(x,y,y',\ldots ,y^{\left(n-1\right)} \right)$ представляет собой семейство решений этого уравнения, зависимое от $n$ произвольных постоянных, то есть $y=\phi \left(x,C_{1} ,C_{2} ,\ldots ,C_{n} \right)$.
Решение $y=y\left(x\right)$ уравнения $y^{\left(n\right)} =f\left(x,y,y',\ldots ,y^{\left(n-1\right)} \right)$, которое можно получить из общего при определенных значениях произвольных постоянных, называется частным решением. Решение, которое невозможно получить из общего ни при каких значениях произвольных постоянных, называется особым решением.
Простейшими представителями дифференциальных уравнений высших порядков являются дифференциальные уравнения второго порядка. Тем не менее, с их помощью можно обнаружить все основные свойства и методы решения дифференциальных уравнений высших порядков.
Дифференциальное уравнение второго порядка чаще всего представляют одним из двух следующих способов:
- в неявной форме $F\left(x,y,y',y''\right)=0$;
- в форме $y''=f\left(x,y,y'\right)$, разрешенной относительно второй производной.
Общее решение дифференциального уравнения второго порядка зависит от аргумента $x$, а также от двух произвольных постоянных $C_{1} $ и $C_{2} $, и может быть записано в виде $y=\phi \left(x,C_{1} ,C_{2} \right)$.
Решение $y=y\left(x\right)$, которое может быть получено из общего при определенных значениях произвольных постоянных $C_{1} $ и $C_{2} $, является частным. Если существует решение $y=y\left(x\right)$, которое не может быть получено из общего, то оно является особым.
Для нахождения частного решения из общего используют начальные условия: $y=y_{0} $ при $x=x_{0} $, $y'=y'_{0} $ при $x=x_{0} $. Такая задача называется задачей Коши для дифференциального уравнения второго порядка.
Разновидности дифференциальных уравнений второго порядка
А) Простейшим дифференциальным уравнением второго порядка является уравнение вида $y''=f\left(x\right)$, в котором правая часть не зависит от неизвестной функции $y$ и её производной $y'$, а может зависеть только от $x.$ Решается это уравнение последовательным интегрированием.
Б) Дифференциальные уравнения второго порядка, которые допускают понижение порядка, - это такие уравнения, которые посредством замены переменных могут быть преобразованы в дифференциальные уравнения первого порядка. После этого к полученным дифференциальным уравнениям первого порядка могут быть применены обычные методы решения. Существует два случая.
Дифференциальное уравнение второго порядка $y''=f\left(x,y'\right)$, не содержащее неизвестной функции $y$. Для его решения применяют замену $y'=z\left(x\right)$.
Дифференциальное уравнение второго порядка $y''=f\left(y,y'\right)$, не содержащее независимой переменной $x$. Для его решения применяют замену $y'=z\left(y\right)$.
Дифференциальное уравнение вида $y''+p\cdot y'+q\cdot y=f\left(x\right)$, где $y$ -- неизвестная функция, $p$ и $q$ -- действительные числа, а $f\left(x\right)$ -- непрерывная функция, является линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.
Если правая часть уравнения тождественно равна нулю, то есть $f\left(x\right)\equiv 0$, то уравнение называется линейным однородным.
Если правая часть уравнения тождественно не равна нулю, то есть $f\left(x\right)\ne 0$, то уравнение называется линейным неоднородным.
В) Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами $p$ и $q$ имеет вид $y''+p\cdot y'+q\cdot y=0$. Решая такое дифференциальное уравнение, с ним связывают характеристическое квадратное уравнение $k^{2} +p\cdot k+q=0$. Вид решения зависит от того, каковы свойства корней этого квадратного уравнения.
Г) Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами $p$ и $q$ имеет вид $y''+p\cdot y'+q\cdot y=f\left(x\right)$.
Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.
Вид частного решения зависит от того, каковы свойства правой части $f\left(x\right)$ этого уравнения.
Правая часть линейного неоднородного дифференциального имеет вид $f\left(x\right)=P_{n} \left(x\right)$, то есть представляет собой многочлен степени $n$. В этом случае частное решение имеет вид $U=Q_{n} \left(x\right)\cdot x^{r} $, где $Q_{n} \left(x\right)$ -- другой многочлен той же степени, что и $P_{n} \left(x\right)$, а $r$ -- количество корней характеристического уравнения, которые равны нулю.
Правая часть линейного неоднородного дифференциального имеет вид $f\left(x\right)=e^{\alpha \cdot x} \cdot P_{n} \left(x\right)$. В этом случае частное решение имеет вид $U=Q_{n} \left(x\right)\cdot x^{r} \cdot e^{\alpha \cdot x} $, где $Q_{n} \left(x\right)$ -- другой многочлен той же степени, что и $P_{n} \left(x\right)$, а $r$ -- количество корней характеристического уравнения, которые равны $\alpha $.
Правая часть линейного неоднородного дифференциального имеет вид $f\left(x\right)=a\cdot \cos \beta x+b\cdot \sin \beta x$. В этом случае частное решение имеет вид $U=\left(A\cdot \cos \beta x+B\cdot \sin \beta x\right)\cdot x^{r} $, где $r$ -- количество корней характеристического уравнения, которые равны $i\cdot \beta $.
Правая часть линейного неоднородного дифференциального имеет вид $f\left(x\right)=e^{\alpha \cdot x} \cdot \left[P_{n} \left(x\right)\cdot \cos \beta x+P_{m} \left(x\right)\cdot \sin \beta x\right]$. В этом случае частное решение имеет вид $U=e^{\alpha \cdot x} \cdot \left[Q_{s} \left(x\right)\cdot \cos \beta x+R_{s} \left(x\right)\cdot \sin \beta x\right]\cdot x^{r} $, где число $s$ -- максимальное из двух чисел $n$ и $m$, $r$ -- количество корней характеристического уравнения, которые равны $\alpha +i\cdot \beta $.
Д) Дифференциальное уравнение второго порядка, имеющее вид $y''+P\left(x\right)\cdot y'+Q\left(x\right)\cdot y=f\left(x\right)$, где коэффициенты $P\left(x\right)$, $Q\left(x\right)$, а также правая часть $f\left(x\right)$ представляют собой непрерывные функции, является линейным дифференциальным уравнением второго порядка с переменными коэффициентами.
Решение линейного однородного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами $y''+P\left(x\right)\cdot y'+Q\left(x\right)\cdot y=0$ базируется на предварительном знании какого-то одного его частного решения. Точные методы для поиска такого частного решения отсутствуют, но оно может быть известным или из условия задачи, или оно может быть подобрано из физических соображений или с позиций здравого смысла, и, в конце концов, его можно просто угадать.
Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами $y''+P\left(x\right)\cdot y'+Q\left(x\right)\cdot y=f\left(x\right)$ базируется на знании общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения.
