Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Как найти скалярное произведение векторов

Угол между векторами

Рассмотрим два данных вектора $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$. Отложим от произвольно выбранной точки $O$ векторы $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{OB}$, тогда угол $AOB$ называется углом между векторами $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ (рис. 1).



Рисунок 1.

Отметим здесь, что если векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ сонаправлены или один из них является нулевым вектором, тогда угол между векторами равен $0^0$.

Обозначение: $\widehat{\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}}$

Понятие скалярного произведения векторов

Определение 1

Скалярное произведение двух векторов – это скаляр (число), равный произведению длин двух векторов на косинус угла между этими векторами.

Математически это определение можно записать следующим образом:

Скалярное произведение может равняться нулю в двух случаях:

  1. Если один из векторов будет нулевым вектором (Так как тогда его длина равна нулю).

  2. Если векторы будут взаимно перпендикулярны (то есть $cos{90}^0=0$).

Отметим также, что скалярное произведение больше нуля, если угол между этими векторами острый (так как ${cos \left(\widehat{\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}}\right)\ } >0$), и меньше нуля, если угол между этими векторами тупой (так как ${cos \left(\widehat{\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}}\right)\ }

С понятием скалярного произведения связано понятие скалярного квадрата.

Готовые работы на аналогичную тему

Определение 2

Скалярным квадратом вектора $\overrightarrow{a}$ называется скалярное произведение этого вектора самого на себя.

Получаем, что скалярный квадрат равен

\[\overrightarrow{a}\overrightarrow{a}=\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{a}\right|{cos 0^0\ }=\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{a}\right|={\left|\overrightarrow{a}\right|}^2\]

Вычисление скалярного произведения по координатам векторов

Помимо стандартного способа нахождения значения скалярного произведения, который вытекает из определения, существует еще один способ.

Рассмотрим его.

Пусть векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ имеют координаты $\left(a_1,b_1\right)$ и $\left(a_2,b_2\right)$, соответственно.

Теорема 1

Скалярное произведение векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ равно сумме произведений соответствующих координат.

Математически это можно записать следующим образом

\[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=a_1a_2+b_1b_2\]

Доказательство.

  1. Пусть один из векторов будет нулевым вектором. К примеру, $\overrightarrow{a}=(0,0)$.

    Тогда $\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=0$. С другой стороны $a_1a_2+b_1b_2=0\cdot a_2+0\cdot b_2=0$, значит

    \[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=a_1a_2+b_1b_2\]
  2. Оба вектора не будут нулевыми векторами.

    Отложим от произвольной точки $O$ векторы $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OB}$ (рис. 2).

    Иллюстрация теоремы 1

    Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1

    По теореме косинусов, получим:

    \[{AB}^2={OA}^2+{OB}^2-2OA\cdot OBcosO\]

    Так как $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$, получим

    \[{|\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}|}^2={|\overrightarrow{OA}|}^2+{|\overrightarrow{OB}|}^2-2\left|\overrightarrow{OA}\right||\overrightarrow{OB}|\] \[\overrightarrow{OA}\overrightarrow{OB}=\frac{1}{2}\left({|\overrightarrow{OA}|}^2+{|\overrightarrow{OB}|}^2-{|\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}|}^2\right)\]

    Так как векторы $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OB}$ имеют координаты $\left(a_1,b_1\right)$ и $\left(a_2,b_2\right)$, соответственно, то $\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\left(a_2-a_1,b_2-b_1\right)$. Тогда равенство примет вид

    \[\overrightarrow{OA}\overrightarrow{OB}=\frac{1}{2}\left(a^2_1+b^2_1+a^2_2+b^2_2-{(a_2-a_1)}^2-{(b_2-b_1)}^2\right)=a_1a_2+b_1b_2\]

Теорема доказана.

Эта теорема имеет несколько следствий:

Следствие 1: Векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ перпендикулярны тогда и только тогда, когда $a_1a_2+b_1b_2=0$

Следствие 2: Косинус угла между векторами равен $cos\alpha =\frac{a_1a_2+b_1b_2}{\sqrt{a^2_1+b^2_1}\cdot \sqrt{a^2_2+b^2_2}}$

Свойства скалярного произведения векторов

Для любых трех векторов и действительного числа $k$ справедливо:

  1. ${\overrightarrow{a}}^2\ge 0$

    Данное свойство следует из определения скалярного квадрата (определение 2).

  2. Переместительный закон: $\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\overrightarrow{a}$.

    Данное свойство следует из определения скалярного произведения (определение 1).

  3. Распределительный закон:

    $\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}$. \end{enumerate}

    По теореме 1, имеем:

    \[\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\overrightarrow{c}=\left(a_1+a_2\right)a_3+\left(b_1+b_2\right)b_3=a_1a_3+a_2a_3+b_1b_3+b_2b_3==\overrightarrow{a}\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\]
  4. Сочетательный закон: $\left(k\overrightarrow{a}\right)\overrightarrow{b}=k(\overrightarrow{a}\overrightarrow{b})$. \end{enumerate}

    По теореме 1, имеем:

    \[\left(k\overrightarrow{a}\right)\overrightarrow{b}=ka_1a_2+kb_1b_2=k\left(a_1a_2+b_1b_2\right)=k(\overrightarrow{a}\overrightarrow{b})\]

Пример задачи на вычисление скалярного произведения векторов

Пример 1

Найти скалярное произведение векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$, если $\left|\overrightarrow{a}\right|=3$ и $\left|\overrightarrow{b}\right|=2$, а угол между ними равен ${{30}^0,\ 45}^0,\ {90}^0,\ {135}^0$.

Решение.

Используя определение 1, получаем

Для ${30}^0:$

\[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=6{cos \left({30}^0\right)\ }=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\]

Для ${45}^0:$

\[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=6{cos \left({45}^0\right)\ }=6\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}\]

Для ${90}^0:$

\[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=6{cos \left({90}^0\right)\ }=6\cdot 0=0\]

Для ${135}^0:$

\[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=6{cos \left({135}^0\right)\ }=6\cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-3\sqrt{2}\]
Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Наталья Игоревна Восковская

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис