Основные элементарные функции

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Полный перечень основных элементарных функций

К классу основных элементарных функций относятся следующие:

Постоянная функция $y=C$ , где $C$ -- константа. Такая функция принимает одно и то же значение $C$ при любом $x$ .
Степенная функция $y=x^{a}$ , где показатель степени $a$ -- действительное число.
Показательная функция $y=a^{x}$ , где основание степени $a>0$ , $a\ne 1$ .
Логарифмическая функция $y=\log _{a} x$ , где основание логарифма $a>0$ , $a\ne 1$ .
Тригонометрические функции $y=\sin x$ , $y=\cos x$ , $y=tg\, x$ , $y=ctg\, x$ , $y=\sec x$ , $y=A>\sec \, x$ .
Обратные тригонометрические функции $y=\arcsin x$ , $y=\arccos x$ , $y=arctgx$ , $y=arcctgx$ , $y=arc\sec x$ , $y=arc\, \cos ec\, x$ .

Поведение основных элементарных функций

Степенные функции

Поведение степенной функции $y=x^{a}$ рассмотрим для тех простейших случаев, когда её показатель степени определяет целочисленные возведение в степень и извлечение корня.

Случай 1

Показатель степени функции $y=x^{a}$ -- натуральное число, то есть $y=x^{n}$ , $n\in N$ .

Если $n=2\cdot k$ -- четное число, то функция $y=x^{2\cdot k}$ -- четная и неограниченно возрастает как при неограниченном возрастании аргумента $\left(x\to +\infty \right)$ , так и при неограниченном его убывани $\left(x\to -\infty \right)$ . Такое поведение функции можно описать выражениями $\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } x^{2\cdot k} =+\infty$ и $\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } x^{2\cdot k} =+\infty$ , которые означают, что функция в обоих случаях неограниченно возрастает ( $\lim$ -- предел). Пример: график функции $y=x^{2}$ .

Если $n=2\cdot k-1$ -- нечетное число, то функция $y=x^{2\cdot k-1}$ -- нечетная, неограниченно возростает при неограниченном возрастании аргумента и неограниченно убывает при неограниченном его убывании. Такое поведение функции можно описать выражениями $\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } x^{2\cdot k-1} =+\infty$ и $\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } x^{2\cdot k-1} =-\infty$ . Пример: график функції $y=x^{3}$ .

«Основные элементарные функции» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Найти

Случай 2

Показатель степени функци $y=x^{a}$ -- целое отрицательное число, то есть $y=\frac{1}{x^{n} }$ , $n\in N$ .

Если $n=2\cdot k$ -- четное число, то функция $y=\frac{1}{x^{2\cdot k} }$ -- четная и асимптотически (постепенно) приближается к нулю как при неограниченном возрастании аргумента, так и при неограниченном его убывании. Такое поведение функции можно описать единым выражением $\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \frac{1}{x^{2\cdot k} } =0$ , которое означает, что при неограниченном возрастании аргумента по абсолютной величине предел функции равен нулю. Кроме того, при стремлении аргумента к нулю как слева $\left(x\to 0-0\right)$ , так и справа $\left(x\to 0+0\right)$ , функция неограниченно возрастает. Поэтому справедливы выражения $\mathop{\lim }\limits_{x\to 0-0} \frac{1}{x^{2\cdot k} } =+\infty$ и $\mathop{\lim }\limits_{x\to 0+0} \frac{1}{x^{2\cdot k} } =+\infty$ , которые означают, что функция $y=\frac{1}{x^{2\cdot k} }$ в обоих случаях имеет бесконечный предел, равный $+\infty$ . Пример: график функции $y=\frac{1}{x^{2} }$ .

Если $n=2\cdot k-1$ -- нечетное число, то функция $y=\frac{1}{x^{2\cdot k-1} }$ -- нечетная и асимптотически приближается к нулю как при неограниченном возрастании аргумента, так и при неограниченном его убывании. Такое поведение функции можно описать единым выражением $\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \frac{1}{x^{2\cdot k-1} } =0$ . Кроме того, при приближении аргумента к нулю слева функция неограниченно убывает, а при приближении аргумента к нулю справа функция неограниченно возрастает, то есть $\mathop{\lim }\limits_{x\to 0-0} \frac{1}{x^{2\cdot k-1} } =-\infty$ и $\mathop{\lim }\limits_{x\to 0+0} \frac{1}{x^{2\cdot k-1} } =+\infty$ . Пример: график функции $y=\frac{1}{x}$ .

Случай 3

Показатель степени функции $y=x^{a}$ -- число, обратное к натуральному, то есть $y=\sqrt[{n}]{x}$ , $n\in N$ .

Если $n=2\cdot k$ -- четное число, то функция $y=\pm \sqrt[{2\cdot k}]{x}$ является двузначной и определена только при $x\ge 0$ . При неограниченном возрастании аргумента значение функции $y=+\sqrt[{2\cdot k}]{x}$ неограниченно возрастает, а значение функции $y=-\sqrt[{2\cdot k}]{x}$ неограниченно убывает, то есть $\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \left(+\sqrt[{2\cdot k}]{x} \right)=+\infty$ и $\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \left(-\sqrt[{2\cdot k}]{x} \right)=-\infty$ . Пример: график функции $y=\pm \sqrt{x}$ .

Если $n=2\cdot k-1$ -- нечетное число, то функция $y=\sqrt[{2\cdot k-1}]{x}$ -- нечетная, неограниченно возрастает при неограниченном возрастании аргумента и неограниченно убывает при неограниченном его убывает, то есть $\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \sqrt[{2\cdot k-1}]{x} =+\infty$ и $\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } \sqrt[{2\cdot k-1}]{x} =-\infty$ . Пример: график функции $y=\sqrt[{3}]{x}$ .

Поведение основных элементарных функций

Показательная и логарифмическая функции

Показательная $y=a^{x}$ и логарифмическая $y=\log _{a} x$ функции являются взаимно обратными. Их графики симметричны относительно общей биссектрисы первого и третьего координатных углов.

При неограниченном возрастании аргумента $\left(x\to +\infty \right)$ показательная функция или неограниченно возрастает $\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } a^{x} =+\infty$ , если $a>1$ , или асимптотически приближается к нулю $\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } a^{x} =0$ , если $a1$ , или неограниченно возрастает $\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } a^{x} =+\infty$ , если $a

Характерным значением для функции $y=a^{x}$ является значение $x=0$ . При этом все показательные функции, независимо от $a$ , обязательно пересекают ось $Oy$ при $y=1$ . Примеры: графики функций $y=2^{x}$ и $y = \left (\frac{1}{2} \right)^{x}$ .

Логарифмическая функция $y=\log _{a} x$ определена только при $x > 0$ .

При неограниченном возрастании аргумента $\left(x\to +\infty \right)$ логарифмическая функция или неограниченно возрастает $\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \log _{a} x=+\infty$ , если $a>1$ , или неограниченно убывает $\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \log _{a} x=-\infty$ , если $a1$ , или неограниченно возрастает $\mathop{\lim }\limits_{x\to 0+0} \log _{a} x=+\infty$ , если $a

Характерным значением для функции $y=\log _{a} x$ является значение $y=0$ . При этом все логарифмические функции, независимо от $a$ , обязательно пересекают ось $Ox$ при $x=1$ . Примеры: графики функций $y=\log _{2} x$ и $y=\log _{1/2} x$ .

Графики функций

Некоторые логарифмические функции имеют специальные обозначения. В частности, если основание логарифма $a=10$ , то такой логарифм называется десятичным, а соответствующая функция записывается как $y=\lg x$ . А если основанием логарифма выбирается иррациональное число $e=2,7182818\ldots$ , то такой логарифм называется натуральным, а соответствующая функция записывается как $y=\ln x$ . Обратной к ней является функция $y=e^{x}$ , называемая экспонентой.