Основные элементарные функции

Показатель степени функции $y=x^{a}$ -- натуральное число, то есть $y=x^{n}$, $n\in N$.

Если $n=2\cdot k$ -- четное число, то функция $y=x^{2\cdot k}$ -- четная и неограниченно возрастает как при неограниченном возрастании аргумента $\left(x\to +\infty \right)$, так и при неограниченном его убывани $\left(x\to -\infty \right)$. Такое поведение функции можно описать выражениями $\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } x^{2\cdot k} =+\infty$ и $\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } x^{2\cdot k} =+\infty$, которые означают, что функция в обоих случаях неограниченно возрастает ($\lim$ -- предел). Пример: график функции $y=x^{2}$.

Если $n=2\cdot k-1$ -- нечетное число, то функция $y=x^{2\cdot k-1}$ -- нечетная, неограниченно возростает при неограниченном возрастании аргумента и неограниченно убывает при неограниченном его убывании. Такое поведение функции можно описать выражениями $\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } x^{2\cdot k-1} =+\infty$ и $\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } x^{2\cdot k-1} =-\infty$. Пример: график функції $y=x^{3}$.

Показатель степени функци $y=x^{a}$ -- целое отрицательное число, то есть $y=\frac{1}{x^{n} }$, $n\in N$.

Если $n=2\cdot k$ -- четное число, то функция $y=\frac{1}{x^{2\cdot k} }$ -- четная и асимптотически (постепенно) приближается к нулю как при неограниченном возрастании аргумента, так и при неограниченном его убывании. Такое поведение функции можно описать единым выражением $\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \frac{1}{x^{2\cdot k} } =0$, которое означает, что при неограниченном возрастании аргумента по абсолютной величине предел функции равен нулю. Кроме того, при стремлении аргумента к нулю как слева $\left(x\to 0-0\right)$, так и справа $\left(x\to 0+0\right)$, функция неограниченно возрастает. Поэтому справедливы выражения $\mathop{\lim }\limits_{x\to 0-0} \frac{1}{x^{2\cdot k} } =+\infty$ и $\mathop{\lim }\limits_{x\to 0+0} \frac{1}{x^{2\cdot k} } =+\infty$, которые означают, что функция $y=\frac{1}{x^{2\cdot k} }$ в обоих случаях имеет бесконечный предел, равный $+\infty$. Пример: график функции $y=\frac{1}{x^{2} }$.

Если $n=2\cdot k-1$ -- нечетное число, то функция $y=\frac{1}{x^{2\cdot k-1} }$ -- нечетная и асимптотически приближается к нулю как при неограниченном возрастании аргумента, так и при неограниченном его убывании. Такое поведение функции можно описать единым выражением $\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \frac{1}{x^{2\cdot k-1} } =0$. Кроме того, при приближении аргумента к нулю слева функция неограниченно убывает, а при приближении аргумента к нулю справа функция неограниченно возрастает, то есть $\mathop{\lim }\limits_{x\to 0-0} \frac{1}{x^{2\cdot k-1} } =-\infty$ и $\mathop{\lim }\limits_{x\to 0+0} \frac{1}{x^{2\cdot k-1} } =+\infty$. Пример: график функции $y=\frac{1}{x}$.

Показатель степени функции $y=x^{a}$ -- число, обратное к натуральному, то есть $y=\sqrt[{n}]{x}$, $n\in N$.

Если $n=2\cdot k$ -- четное число, то функция $y=\pm \sqrt[{2\cdot k}]{x}$ является двузначной и определена только при $x\ge 0$. При неограниченном возрастании аргумента значение функции $y=+\sqrt[{2\cdot k}]{x}$ неограниченно возрастает, а значение функции $y=-\sqrt[{2\cdot k}]{x}$ неограниченно убывает, то есть $\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \left(+\sqrt[{2\cdot k}]{x} \right)=+\infty$ и $\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \left(-\sqrt[{2\cdot k}]{x} \right)=-\infty$. Пример: график функции $y=\pm \sqrt{x}$.

Если $n=2\cdot k-1$ -- нечетное число, то функция $y=\sqrt[{2\cdot k-1}]{x}$ -- нечетная, неограниченно возрастает при неограниченном возрастании аргумента и неограниченно убывает при неограниченном его убывает, то есть $\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \sqrt[{2\cdot k-1}]{x} =+\infty$ и $\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } \sqrt[{2\cdot k-1}]{x} =-\infty$. Пример: график функции $y=\sqrt[{3}]{x}$.