Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Производная параметрической функции

Все предметы / Математика / Производная и дифференциал / Производная параметрической функции
Определение

Параметрической зависимостью называется связь аргумента $x$ с функцией $y$ в виде системы двух параметрических уравнений с параметром $t$:

\[\left\{\begin{array}{l} {x=x(t)} \\ {y=y(t)} \end{array}\right. \]

Например, параметрическая запись уравнения окружности:

\[\begin{array}{l} {x=r\cos t} \\ {y=r\sin t} \end{array}\]

Параметр которой принимает значения от 0 до 2$\pi $.

Теорема

Производная параметрической функции имеет вид:

\[y_{x}^{`} =\frac{y_{t}^{`} }{x_{t}^{`} } \]
Доказательство

Найдем производную параметрически заданной функции. Предположим, что функции $x = x(t)$ и $y = y(t)$ дифференцируемы в интервале $\alpha

По теореме о производной обратной функции:

\[\frac{dt}{dx} =t'_{x} =\frac{1}{x'_{t} } \]

Функцию $y(x)$ будем считать сложной. Тогда производная равна:

\[y_{x}^{`} =y_{t}^{`} \cdot t'_{x} =\frac{y_{t}^{`} }{x_{t}^{`} } \]

Данная формула позволяет находить производную параметрически заданной функции, не выражая зависимость $y(x)$ в явном виде.

Пример 1

Найти производную параметрически заданной функции

\[\left\{\begin{array}{l} {x=t^{3} } \\ {y=t^{4} +5} \end{array}\right. \]

Решение.

  1. Найдем производные по параметру
  2. \[x'_{t} =\left(t^{3} \right){{'} } =3t^{2} \] \[y'_{t} =\left(t^{4} +5\right){{'} } =4t^{3} \]
  3. Запишем производную параметрически по выводу теоремы
  4. \[\frac{dt}{dx} =t'_{x} =\frac{1}{x'_{t} } \] \[\frac{dt}{dx} =y'_{x} =\frac{y'_{t} }{x'_{t} } =\frac{4t^{3} }{3t^{2} } =\frac{4}{3} t\]
Пример 2

Найти производную параметрически заданной функции

\[\left\{\begin{array}{l} {x=\frac{2}{t^{3} } } \\ {y=3t+t^{2} } \end{array}\right. \]

Решение.

  1. Найдем производные по параметру
  2. \[x'_{t} =\left(2t^{-3} \right){{'} } =\frac{-6}{t^{4} } \] \[y'_{t} =\left(3t+t^{2} \right){{'} } =3+2t\]
  3. Запишем производную параметрически по выводу теоремы
  4. \[\frac{dt}{dx} =t'_{x} =\frac{1}{x'_{t} } \] \[\frac{dt}{dx} =y'_{x} =\frac{y'_{t} }{x'_{t} } =\frac{-6}{t^{4} \left(3+2t\right)} \]

Готовые работы на аналогичную тему

Пример 3

Найти производную параметрически заданной функции

\[\left\{\begin{array}{l} {x=e^{t^{2} } } \\ {y=e^{t-1} } \end{array}\right. \]

Решение.

  1. Найдем производные по параметру
  2. \[x'_{t} =\left(e^{t^{2} } \right){{'} } =t^{2} e^{t^{2} } \] \[y'_{t} =\left(e^{t-1} \right){{'} } =\left(t-1\right)e^{t-1} \]
  3. Запишем производную параметрически по выводу теоремы
  4. \[\frac{dt}{dx} =t'_{x} =\frac{1}{x'_{t} } \] \[\frac{dt}{dx} =y'_{x} =\frac{y'_{t} }{x'_{t} } =\frac{t^{2} e^{t^{2} } }{\left(t-1\right)e^{t-1} } \]
Пример 4

Найти производную параметрически заданной функции

\[\left\{\begin{array}{l} {x=\sin ^{2} t} \\ {y=\cos ^{2} t} \end{array}\right. \]

Решение.

  1. Найдем производные по параметру
  2. \[x'_{t} =\left(\sin ^{2} t\right){{'} } =2\sin t\cos t=\sin 2t\] \[y'_{t} =\left(\cos ^{2} t\right){{'} } =-2\cos t\sin t=-\sin 2t\]
  3. Запишем производную параметрически по выводу теоремы
  4. \[\frac{dt}{dx} =t'_{x} =\frac{1}{x'_{t} } \] \[\frac{dt}{dx} =y'_{x} =\frac{y'_{t} }{x'_{t} } =\frac{\sin 2t}{-\sin 2t} =-1\]
Пример 5

Найти производную параметрически заданной функции

\[\left\{\begin{array}{l} {x=\sqrt{1-t^{2} } } \\ {y=\arccos t} \end{array}\right. \]

Решение.

  1. Найдем производные по параметру
  2. \[x'_{t} =\left(\sqrt{1-t^{2} } \right){{'} } =\frac{1}{2\sqrt{1-t^{2} } } \left(\sqrt{1-t^{2} } \right){{'} } =-\frac{t}{\sqrt{1-t^{2} } } \] \[y'_{t} =\left(\arccos t\right){{'} } =-\frac{1}{\sqrt{1-t^{2} } } \]
  3. Запишем производную параметрически по выводу теоремы
  4. \[\frac{dt}{dx} =t'_{x} =\frac{1}{x'_{t} } \] \[\frac{dt}{dx} =y'_{x} =\frac{y'_{t} }{x'_{t} } =-\frac{1}{\sqrt{1-t^{2} } } \cdot \frac{\sqrt{1-t^{2} } }{-t} =\frac{1}{t} \]
    Сообщество экспертов Автор24

    Автор этой статьи

    Автор статьи

    Александр Мельник

    Эксперт по предмету «Математика»

    Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
    Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
    как работает сервис