Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Параметрическое задание функции

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Параметрическое задание функции

Параметрический способ задания функций

Пусть даны два уравнения

$x=\phi (t)$ и $y=\psi (t)$

В которых $t$ принимает значения с отрезка [n1; n2]. Каждому значению t соответствуют значения x и y -- координаты точки на плоскости Оxy.

Когда $t$ изменяет свое значение на промежутке от $n1$ до $n2$, точка описывает некоторую кривую. Уравнения $x=\phi (t)$ и $y=\psi (t)$ получили название параметрических для кривой, а $t$ -- параметра.

Предположим, что функция $x=\phi (t)$ имеет обратную функцию $t=\ (x)$. Тогда справедливо равенство:

Параметрический способ задания функций широко применяется в механике. Так, если в плоскости некоторая материальная точка находится в движении (время $t$), и законы движения проекций этой точки на оси координат известны:

Уравнения являются параметрическими уравнениями траекторий движущейся точки. Исключая временной параметр, получим уравнение траектории в форме $y = f(x)$.

Пример 1

Определить траекторию и место падения груза, сброшенного с самолета, движущегося горизонтально со скорость $v_0$ на высоте $y_0$.

Решение.

Допустим, что груз сбрасывается с момент пересечения самолетом оси Oy. Тогда очевидно, что горизонтальное перемещение груза равномерно и имеет постоянную скорость:

$x = v_0 t$

А вертикальное перемещение:

\[s=\frac{gt^{2} }{2} \]

Следовательно, расстояние от груза до земли в произвольный момент падения:

\[y=y_{0} -\frac{gt^{2} }{2} \]

Уравнения горизонтального и вертикального перемещения тела являются параметрическими. Для того, чтобы исключить временной параметр $t$, найдем его значение из первого уравнения.

\[t=\frac{x}{v_{0} } \]

Полученное выражение подставим во второе параметрическое уравнение чтобы найти уравнение траектории:

\[y=y_{0} -\frac{g}{2v_{0}^{2} } x^{2} \]

Откуда:

\[x=v_{0} \sqrt{\frac{2y_{0} }{g} } \]

Уравнения некоторых кривых в параметрической форме:

  1. Окружность
  2. Уравнение окружности имеет вид:

    \[x^{2} +y^{2} =r^{2} \]

    Параметрические кривые окружности:

    \[\begin{array}{l} {x=r\cos t} \\ {y=r\sin t} \end{array}\]

    Окружность и ее параметрические кривые

    Рисунок 1. Окружность и ее параметрические кривые

  3. Гипербола
  4. Уравнение гиперболы имеет вид:

    \[\frac{x^{2} }{a^{2} } -\frac{y^{2} }{b^{2} } =1\]

    Параметрические кривые гиперболы:

    \[\begin{array}{l} {\left|x\right|=a\cdot cht} \\ {y=b\cdot cht} \end{array}\]

Гипербола и ее параметрические кривые

Рисунок 2. Гипербола и ее параметрические кривые

Пример 2

Записать уравнение окружности в параметрическом виде.

\[x^{2} +y^{2} =36\]

Решение.

  1. Представим уравнение окружности в виде:
  2. \[x^{2} +y^{2} =r^{2} \] \[x^{2} +y^{2} =6^{2} \]

    Значит, радиус $r$ равен 6.

  3. Параметрические кривые окружности:
  4. \[\begin{array}{l} {x=r\cos t} \\ {y=r\sin t} \end{array}\] \[\begin{array}{l} {x=6\cos t} \\ {y=6\sin t} \end{array}\]
Пример 3

Записать уравнение гиперболы в параметрическом виде.

\[\frac{x^{2} }{25} -\frac{y^{2} }{9} =1\]

Решение.

  1. Представим уравнение гиперболы в виде:
  2. \[\frac{x^{2} }{5^{2} } -\frac{y^{2} }{3^{2} } =1\]
  3. Параметрические кривые гиперболы:
  4. \[\begin{array}{l} {\left|x\right|=5\cdot cht} \\ {y=3\cdot cht} \end{array}\]