Производная параметрической функции

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Определение

Параметрической зависимостью называется связь аргумента $x$ с функцией $y$ в виде системы двух параметрических уравнений с параметром $t$ :

$\left\{\begin{array}{l} {x=x(t)} \\ {y=y(t)} \end{array}\right.$

Например, параметрическая запись уравнения окружности:

$\begin{array}{l} {x=r\cos t} \\ {y=r\sin t} \end{array}$

Параметр которой принимает значения от 0 до 2 $\pi$ .

Теорема

Производная параметрической функции имеет вид:

$y_{x}^{`} =\frac{y_{t}^{`} }{x_{t}^{`} }$

Доказательство

Найдем производную параметрически заданной функции. Предположим, что функции $x = x(t)$ и $y = y(t)$ дифференцируемы в интервале $\alpha

По теореме о производной обратной функции:

$\frac{dt}{dx} =t'_{x} =\frac{1}{x'_{t} }$

Функцию $y(x)$ будем считать сложной. Тогда производная равна:

$y_{x}^{`} =y_{t}^{`} \cdot t'_{x} =\frac{y_{t}^{`} }{x_{t}^{`} }$

Данная формула позволяет находить производную параметрически заданной функции, не выражая зависимость $y(x)$ в явном виде.

Пример 1

Найти производную параметрически заданной функции

$\left\{\begin{array}{l} {x=t^{3} } \\ {y=t^{4} +5} \end{array}\right.$

Решение.

Найдем производные по параметру

$x'_{t} =\left(t^{3} \right){{'} } =3t^{2}$

$y'_{t} =\left(t^{4} +5\right){{'} } =4t^{3}$

Запишем производную параметрически по выводу теоремы

$\frac{dt}{dx} =t'_{x} =\frac{1}{x'_{t} }$

$\frac{dt}{dx} =y'_{x} =\frac{y'_{t} }{x'_{t} } =\frac{4t^{3} }{3t^{2} } =\frac{4}{3} t$

Пример 2

Найти производную параметрически заданной функции

$\left\{\begin{array}{l} {x=\frac{2}{t^{3} } } \\ {y=3t+t^{2} } \end{array}\right.$

Решение.

Найдем производные по параметру

$x'_{t} =\left(2t^{-3} \right){{'} } =\frac{-6}{t^{4} }$

$y'_{t} =\left(3t+t^{2} \right){{'} } =3+2t$

Запишем производную параметрически по выводу теоремы

$\frac{dt}{dx} =t'_{x} =\frac{1}{x'_{t} }$

$\frac{dt}{dx} =y'_{x} =\frac{y'_{t} }{x'_{t} } =\frac{-6}{t^{4} \left(3+2t\right)}$

«Производная параметрической функции» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Помощь с рефератом от нейросети

Написать ИИ

Пример 3

Найти производную параметрически заданной функции

$\left\{\begin{array}{l} {x=e^{t^{2} } } \\ {y=e^{t-1} } \end{array}\right.$

Решение.

Найдем производные по параметру

$x'_{t} =\left(e^{t^{2} } \right){{'} } =t^{2} e^{t^{2} }$

$y'_{t} =\left(e^{t-1} \right){{'} } =\left(t-1\right)e^{t-1}$

Запишем производную параметрически по выводу теоремы

$\frac{dt}{dx} =t'_{x} =\frac{1}{x'_{t} }$

$\frac{dt}{dx} =y'_{x} =\frac{y'_{t} }{x'_{t} } =\frac{t^{2} e^{t^{2} } }{\left(t-1\right)e^{t-1} }$

Пример 4

Найти производную параметрически заданной функции

$\left\{\begin{array}{l} {x=\sin ^{2} t} \\ {y=\cos ^{2} t} \end{array}\right.$

Решение.

Найдем производные по параметру

$x'_{t} =\left(\sin ^{2} t\right){{'} } =2\sin t\cos t=\sin 2t$

$y'_{t} =\left(\cos ^{2} t\right){{'} } =-2\cos t\sin t=-\sin 2t$

Запишем производную параметрически по выводу теоремы

$\frac{dt}{dx} =t'_{x} =\frac{1}{x'_{t} }$

$\frac{dt}{dx} =y'_{x} =\frac{y'_{t} }{x'_{t} } =\frac{\sin 2t}{-\sin 2t} =-1$

Пример 5

Найти производную параметрически заданной функции

$\left\{\begin{array}{l} {x=\sqrt{1-t^{2} } } \\ {y=\arccos t} \end{array}\right.$

Решение.

Найдем производные по параметру

$x'_{t} =\left(\sqrt{1-t^{2} } \right){{'} } =\frac{1}{2\sqrt{1-t^{2} } } \left(\sqrt{1-t^{2} } \right){{'} } =-\frac{t}{\sqrt{1-t^{2} } }$

$y'_{t} =\left(\arccos t\right){{'} } =-\frac{1}{\sqrt{1-t^{2} } }$

Запишем производную параметрически по выводу теоремы

$\frac{dt}{dx} =t'_{x} =\frac{1}{x'_{t} }$

$\frac{dt}{dx} =y'_{x} =\frac{y'_{t} }{x'_{t} } =-\frac{1}{\sqrt{1-t^{2} } } \cdot \frac{\sqrt{1-t^{2} } }{-t} =\frac{1}{t}$

Дата последнего обновления статьи: 11.12.2024

Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot