Производная неявной функции

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Определение

Если функция вида $y=y(x)$ задана уравнением $F(x;y(x)) = 0$ , то функция является неявно заданной.

Для нахождения неявной функции необходимо выполнить следующие действия:

Продифференцировать обе части уравнения по х.
Поскольку $у$ -- дифференцируемая функция, для ее нахождения используется правило вычисления производной сложной функции.
В правой части уравнения должно получится значение 0.

Примечание

Это значит перенести все слева направо и привести к уравнению вида $F(x;y(x)) = 0$ .

Решить полученное уравнение относительно $y'(x)$ .

Пример 1

Найти производную неявной функции.

$2x^{3} y-4y=3x$

Решение.

Приведем функцию к виду $F(x;y(x)) = 0$ , для чего необходимо перенести все влево и приравнять к 0.

$2x^{3} y-4y-3x=0$

Продифференцируем полученное равенство

$\left(2x^{3} y-4y-3x\right){{'} } =0'$

По свойству линейности:

$2\left(x^{3} y\right){{'} } -4y'-3x'=0'$

Первое слагаемое -- сложная функция

$2\left(x^{3} y\right){{'} } -4y'-3x'=0'$

$2\cdot 3x^{2} y'-4y'-3=0$

Решаем уравнение относительно $y'$

$y'(6x^{2} -4)=3$

$y'=\frac{3}{6x^{2} -4}$

Пример 2

Найти вторую производную неявной функции.

$x^{3} -xy^{2} =2$

Решение.

Приведем функцию к виду $F(x;y(x)) = 0$

$x^{3} -xy^{2} -2=0$

Продифференцируем полученное равенство

$\left(x^{3} -xy^{2} -2\right){{'} } =0'$

По свойству линейности:

$x^{3} {{'} } -\left(xy^{2} \right){{'} } -2'=0'$

Второе слагаемое -- сложная функция

$3x^{2} -\left(x'y^{2} +xy^{2} {{'} } \right)=0$

$3x^{2} -y^{2} -2xy\cdot y{{'} } =0$

Выразим $y'$

$y{{'} } =\frac{y^{2} -3x^{2} }{2xy}$

Продифференцируем полученное выражение повторно

$3\left(x^{2} \right){{'} } -\left(y^{2} \right){{'} } +2\left(xy\cdot y{{'} } \right){{'} } =0$

$6x-2y\cdot y{{'} } +2\left(xy'\cdot y{{'} } +xy\cdot y{{'} } {{'} } \right)=0$

$6x-2y\cdot y{{'} } +2\left(\left(x'y+xy'\right)\cdot y{{'} } +xy\cdot y{{'} } {{'} } \right)=0$

$6x-2y\cdot y{{'} } +2\left(\left(y+xy'\right)\cdot y{{'} } +xy\cdot y{{'} } {{'} } \right)=0$

Упростим

$6x-2y\cdot y{{'} } +2\left(yy{{'} } +xy'y+xy\cdot y{{'} } {{'} } \right)=0$

Заменим $y'$ полученным выше выражением

$6x-2y\cdot \frac{3x^{2} -y^{2} -2}{2xy} +2\left(y\frac{3x^{2} -y^{2} -2}{2xy} +xy\frac{3x^{2} -y^{2} -2}{2xy} +xy\cdot y{{'} } {{'} } \right)=0$

$6x-\frac{3x^{2} -y^{2} -2}{x} +2\left(\frac{3x^{2} -y^{2} -2}{2x} +\frac{3x^{2} -y^{2} -2}{2} +xy\cdot y{{'} } {{'} } \right)=0$

Приведем выражение к общему знаменателю и упростим

$6x-\frac{6x^{2} -2y^{2} -4}{2x} +2\left(\frac{3x^{2} -y^{2} -2}{2x} +\frac{3x^{3} -xy^{2} -2x}{2x} +\frac{2x^{2} y\cdot y{{'} } {{'} } }{2x} \right)=0$