Производная неявной функции

Это значит перенести все слева направо и привести к уравнению вида $F(x;y(x)) = 0$.

Найти производную неявной функции.

Решение.

1. Приведем функцию к виду $F(x;y(x)) = 0$, для чего необходимо перенести все влево и приравнять к 0.
\[2x^{3} y-4y-3x=0\]
2. Продифференцируем полученное равенство
\[\left(2x^{3} y-4y-3x\right){{'} } =0'\]
3. По свойству линейности:
\[2\left(x^{3} y\right){{'} } -4y'-3x'=0'\]
4. Первое слагаемое -- сложная функция
\[2\left(x^{3} y\right){{'} } -4y'-3x'=0'\] \[2\cdot 3x^{2} y'-4y'-3=0\]
5. Решаем уравнение относительно $y'$
\[y'(6x^{2} -4)=3\] \[y'=\frac{3}{6x^{2} -4} \]

Найти вторую производную неявной функции.

Решение.

1. Приведем функцию к виду $F(x;y(x)) = 0$
\[x^{3} -xy^{2} -2=0\]
2. Продифференцируем полученное равенство
\[\left(x^{3} -xy^{2} -2\right){{'} } =0'\]
3. По свойству линейности:
\[x^{3} {{'} } -\left(xy^{2} \right){{'} } -2'=0'\]
4. Второе слагаемое -- сложная функция
\[3x^{2} -\left(x'y^{2} +xy^{2} {{'} } \right)=0\] \[3x^{2} -y^{2} -2xy\cdot y{{'} } =0\]
5. Выразим $y'$
\[y{{'} } =\frac{y^{2} -3x^{2} }{2xy} \]
6. Продифференцируем полученное выражение повторно
\[3\left(x^{2} \right){{'} } -\left(y^{2} \right){{'} } +2\left(xy\cdot y{{'} } \right){{'} } =0\] \[6x-2y\cdot y{{'} } +2\left(xy'\cdot y{{'} } +xy\cdot y{{'} } {{'} } \right)=0\] \[6x-2y\cdot y{{'} } +2\left(\left(x'y+xy'\right)\cdot y{{'} } +xy\cdot y{{'} } {{'} } \right)=0\] \[6x-2y\cdot y{{'} } +2\left(\left(y+xy'\right)\cdot y{{'} } +xy\cdot y{{'} } {{'} } \right)=0\]
7. Упростим
\[6x-2y\cdot y{{'} } +2\left(yy{{'} } +xy'y+xy\cdot y{{'} } {{'} } \right)=0\]
8. Заменим $y'$ полученным выше выражением
\[6x-2y\cdot \frac{3x^{2} -y^{2} -2}{2xy} +2\left(y\frac{3x^{2} -y^{2} -2}{2xy} +xy\frac{3x^{2} -y^{2} -2}{2xy} +xy\cdot y{{'} } {{'} } \right)=0\] \[6x-\frac{3x^{2} -y^{2} -2}{x} +2\left(\frac{3x^{2} -y^{2} -2}{2x} +\frac{3x^{2} -y^{2} -2}{2} +xy\cdot y{{'} } {{'} } \right)=0\]
9. Приведем выражение к общему знаменателю и упростим
\[6x-\frac{6x^{2} -2y^{2} -4}{2x} +2\left(\frac{3x^{2} -y^{2} -2}{2x} +\frac{3x^{3} -xy^{2} -2x}{2x} +\frac{2x^{2} y\cdot y{{'} } {{'} } }{2x} \right)=0\] \[6x-\frac{6x^{2} -2y^{2} -4}{2x} +\left(\frac{6x^{2} -2y^{2} -4+6x^{3} -2xy^{2} -4x+4x^{2} y\cdot y{{'} } {{'} } }{2x} \right)=0\] \[\frac{-6x^{2} -2y^{2} -4+6x^{2} -2y^{2} -4+6x^{3} -2xy^{2} -4x+4x^{2} y\cdot y{{'} } {{'} } }{2x} =6x\] \[-4y^{2} -8+6x^{3} -2xy^{2} -8x+4x^{2} y\cdot y{{'} } {{'} } =6x\] \[y{{'} } {{'} } =\frac{14x+4y^{2} +8-6x^{3} +2xy^{2} }{4x^{2} y} \]

Найти вторую производную неявной функции.

Решение.

1. Приведем функцию к виду $F(x;y(x)) = 0$
\[\log _{4} \left(\frac{4x^{2} }{y} \right)-4=0\]
2. Продифференцируем полученное равенство
\[\left(\log _{4} \left(\frac{4x^{2} }{y} \right)\right){{'} } -4'=0\] \[\frac{1}{\frac{4x^{2} }{y} \ln 4} \cdot \left(\frac{4x^{2} }{y} \right){{'} } =0\] \[\frac{y}{4x^{2} \ln 4} \cdot \frac{8xy-4x^{2} y'}{y^{2} } =0\]
3. Упростим
\[\frac{8xy-4x^{2} y'}{4yx^{2} \ln 4} =0\]
4. Выразим $y'$
\[\frac{8xy}{4yx^{2} \ln 4} -\frac{4x^{2} y'}{4yx^{2} \ln 4} =0\] \[\frac{4x^{2} y'}{4yx^{2} \ln 4} =\frac{8xy}{4yx^{2} \ln 4} \] \[y'=\frac{8xy4yx^{2} \ln 4}{4x^{2} 4yx^{2} \ln 4} \] \[y'=\frac{2y}{x} \]