Логарифмическое дифференцирование

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Определение

Функция, обратная к показательной функции f(x) = ax при a ≠ 1 называется логарифмической функцией по основанию а и обозначается logax, т.е.f -1(x) = logax.

Область определения логарифмической функции $D(log_ax) = (0, \infty )\$

Множество значений логарифмической функции $R(log_ax) = (- \infty ,\infty )$ .

График логарифмической функции

Рисунок 1. График логарифмической функции

Логарифмическое дифференцирование является методом дифференцирования функции $y = f(x)$ .

Алгоритм дифференцирования

Взять натуральные логарифмы от выражения y = f(x).
Продифференцировать правую и левую часть по х.

$\left(\ln y\right){{'} } =\frac{y'}{y}$

Решить получающееся уравнение относительно y '.

Замечание

Если $f(x) $\left|y\right|=\left|f(x)\right|$ $\frac{d}{dx} (\ln \left|x\right|)=\frac{1}{x}$

Пример 1

Найти производную функции

$y=\cos x^{arctgx}$

Решение.

Возьмем натуральные логарифмы

$\ln y=\ln (\cos x)^{arctgx}$

$\ln y=arctgx\cdot \ln (\cos x)$

Продифференцируем выражение

$\frac{1}{y} y'=\frac{\ln \cos x}{1+x^{2} } +arctgx\cdot \frac{1}{\cos x} (-\sin x)=\frac{\ln \cos x}{1+x^{2} } -arctgx\cdot tgx$

Выразим y'

$y'=y\left(\frac{\ln \cos x}{1+x^{2} } +arctgx\cdot \frac{1}{\cos x} (-\sin x)=\frac{\ln \cos x}{1+x^{2} } -arctgx\cdot tgx\right)$

Заменим y

$y'=(\cos x)^{arctgx} \left[\frac{\ln \cos x}{1+x^{2} } -arctgx\cdot tgx\right]$

Пример 2

Найти производную функции

$y=(x^{3} -1)^{tg2x}$

Решение.

Возьмем натуральные логарифмы

$\ln y=\ln (x^{3} -1)^{tg2x}$

$\ln y=tg2x\cdot \ln (x^{3} -1)$

Продифференцируем выражение

$\left(\ln y\right){{'} } =\left(tg2x\cdot \ln (x^{3} -1)\right){{'} }$

$\frac{y{{'} } }{y} =\left(tg2x\cdot \ln (x^{3} -1)\right){{'} }$

$\frac{y{{'} } }{y} =tg2x'\cdot \ln (x^{3} -1)+tg2x\cdot \ln (x^{3} -1)'$

$\frac{y{{'} } }{y} =\frac{2}{\cos ^{2} 2x} \cdot \ln (x^{3} -1)+tg2x\cdot \frac{3x^{2} }{x^{3} -1}$

Выразим y'

$y{{'} } =y\left(\frac{2\ln (x^{3} -1)}{\cos ^{2} 2x} +\frac{3x^{2} tg2x}{x^{3} -1} \right)$

Заменим y

$y{{'} } =(x^{3} -1)^{tg2x} \left(\frac{2\ln (x^{3} -1)}{\cos ^{2} 2x} +\frac{3x^{2} tg2x}{x^{3} -1} \right)$

«Логарифмическое дифференцирование» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Найти

Пример 3

Найти производную функции

$y=\left(\cos (x-1)\right)^{\ln x}$

Решение.

Возьмем натуральные логарифмы

$\ln y=\ln \left(\cos (x-1)\right)^{\ln x}$

$\ln y=\ln x\ln \left(\cos (x-1)\right)$

Продифференцируем выражение

$\left(\ln y\right){{'} } =\left(\ln x\cdot \ln \left(\cos (x-1)\right)\right){{'} }$

$\frac{y{{'} } }{y} =\ln x'\cdot \ln \left(\cos (x-1)\right)+\ln x\cdot \ln \left(\cos (x-1)\right){{'} }$

$\frac{y{{'} } }{y} =\frac{1}{x} \cdot \ln \left(\cos (x-1)\right)+\ln x\cdot \frac{1}{\cos (x-1)} \left(\cos (x-1)\right){{'} }$

$\frac{y{{'} } }{y} =\frac{\ln \left(\cos (x-1)\right)}{x} -\frac{\sin (x-1)\ln x}{\cos (x-1)}$

Выразим y'

$y{{'} } =y\left(\frac{\ln \left(\cos (x-1)\right)}{x} -\frac{\sin (x-1)\ln x}{\cos (x-1)} \right)$

Заменим y

$y{{'} } =\left(\cos (x-1)\right)^{\ln x} \left(\frac{\ln \left(\cos (x-1)\right)}{x} -\frac{\sin (x-1)\ln x}{\cos (x-1)} \right)$

Дата последнего обновления статьи: 15.12.2024

Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot