Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Возрастание и убывание функций, экстремумы

Экстремумы функции

Определение 1

Точки $x_0$ называются точками экстремума функции, если они являются точками максимума и минимума для функции $f(x)$.

Определение 2

Точка $x_0$ называется точкой максимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность данной точки, что для всех $x$ из этой окрестность выполняется неравенство $f(x)\le f(x_0)$.

Определение 3

Точка $x_0$ называется точкой максимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность данной точки, что для всех $x$ из этой окрестность выполняется неравенство $f(x)\ge f(x_0)$.

Статья: Возрастание и убывание функций, экстремумы
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Понятие экстремума функции тесно связано с понятием критической точки функции. Введем её определение.

Определение 4

$x_0$ называется критической точкой функции $f(x)$, если:

1) $x_0$ - внутренняя точка области определения;

2) $f'\left(x_0\right)=0$ или не существует.

Для понятия экстремума можно сформулировать теоремы о достаточных и необходимых условиях его существования.

Теорема 1

Необходимое условие экстремума

Если функция $y=f(x)$ имеет экстремум в точке $x_0$, то либо $f'\left(x_0\right)=0$, либо производная в точке $x_0$ не существует.

Теорема 2

Достаточное условие экстремума

Пусть точка $x_0$ является критической для функции $y=f(x)$ и лежит в интервале $(a,b)$. Пусть на каждом интервале $\left(a,x_0\right)\ и\ (x_0,b)$ производная $f'(x)$ существует и сохраняет постоянный знак. Тогда:

1) Если на интервале $(a,x_0)$ производная $f'\left(x\right)>0$, а на интервале $(x_0,b)$ производная $f'\left(x\right)

2) Если на интервале $(a,x_0)$ производная $f'\left(x\right)0$, то точка $x_0$ - точка минимума для данной функции.

3) Если и на интервале $(a,x_0)$, и на интервале $(x_0,b)$ производная $f'\left(x\right) >0$ или производная $f'\left(x\right)

Данная теорема проиллюстрирована на рисунке 1.

Достаточное условие существования экстремумов

Рисунок 1. Достаточное условие существования экстремумов

Примеры экстремумов (Рис. 2).

Примеры точек экстремумов

Рисунок 2. Примеры точек экстремумов

«Возрастание и убывание функций, экстремумы» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Помощь с рефератом от нейросети
Написать ИИ

Правило исследования функции на экстремум

1) Найти область определения функции $f(x)$;

2) Найти производную $f'(x)$;

3) Найти точки, в которых выполняется равенство $f'\left(x\right)=0$;

4) Найти точки, в которых $f'(x)$ не существует;

5) Отметить на координатной прямой все найденные точки и область определения данной функции;

6) Определить знак производной $f'(x)$ на каждом получившемся промежутке;

7) Сделать выводы о наличии максимумов и минимумов на каждом промежутке, используя теорему 2.

Возрастание и убывание функции

Введем, для начала, определения возрастающей и убывающей функций.

Определение 5

Функция $y=f(x)$, определенная на промежутке $X$, называется возрастающей, если для любых точек $x_1,x_2\in X$ при $x_1

Определение 6

Функция $y=f(x)$, определенная на промежутке $X$, называется убывающей, если для любых точек $x_1,x_2\in X$ при $x_1f(x_2)$.

Исследование функции на возрастание и убывание

Исследовать функции на возрастание и убывание можно с помощью производной.

Для того чтобы исследовать функцию на промежутки возрастания и убывания, необходимо сделать следующее:

1) Найти область определения функции $f(x)$;

2) Найти производную $f'(x)$;

3) Найти точки, в которых выполняется равенство $f'\left(x\right)=0$;

4) Найти точки, в которых $f'(x)$ не существует;

5) Отметить на координатной прямой все найденные точки и область определения данной функции;

6) Определить знак производной $f'(x)$ на каждом получившемся промежутке;

7) Сделать вывод: на промежутках, где $f'\left(x\right)0$ функция возрастает.

Примеры задач на исследования функций на возрастание, убывание и наличие точек экстремумов

Пример 1

Исследовать функцию на возрастание и убывание, и наличие точек максимумов и минимумов: $f(x)={2x}^3-15x^2+36x+1$

Так как первые 6 пунктов совпадают, проведем для начала их.

1) Область определения - все действительные числа;

2) $f'\left(x\right)=6x^2-30x+36$;

3) $f'\left(x\right)=0$;

\[6x^2-30x+36=0\] \[x^2-5x+6=0\] \[x=3,\ x=2\]

4) $f'(x)$ существует во всех точках области определения;

5) Координатная прямая:



Рисунок 3.

6) Определить знак производной $f'(x)$ на каждом промежутке:

\[f'\left(x\right) >0,\ при\ \left(-\infty ,2\right)\ (3,+\infty )\] \[f'\left(x\right)7) Изобразим все на одном рисунке:



Рисунок 4.

Получаем:

Функция возрастает, при $\left(-\infty ,2\right)\ (3,+\infty )$, функция убывает, при $\left(2,3\right)$.

Точка $x=2$ - точка максимума, точка $x=3$ - точка минимума.

Воспользуйся нейросетью от Автор24
Не понимаешь, как писать работу?
Попробовать ИИ
Дата последнего обновления статьи: 10.03.2023
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Крупнейшая русскоязычная библиотека студенческих решенных задач
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot