Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Общие свойства функций и построение графиков

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Математика / Функции и способы задания функций / Общие свойства функций и построение графиков
Общие свойства функций и построение графиков

График функции и его построение

Определение 1

Графиком функции $f(x)$ будет называться множество точек координатной плоскости, которые имеют вид $(x,\ f\left(x\right))$.

Схема для построения графиков функций:

  1. Найти $D(f)$ и $E(f)$.
  2. Исследовать на свойство четности и нечетности, а также на свойство периодичности.
  3. Найти пересечение с координатными осями и промежутки, на которых $f\left(x\right) >0$ и $f\left(x\right)
  4. Найти промежутки где функция возрастает и убывает, найти экстремумы.
  5. Найти интервалы выпуклости $и$ вогнутости функции.
  6. Вычислить пределы на границах $D(f)$.
  7. Найти дополнительные точках при необходимости.
  8. Изобразить график.

Четность и нечетность функции

Определение 2

Функцию $y=f(x)$, которая имеет своей областью определения множество $X$, будем называть четной, если для всех точек из множества $X$ будет выполняться

\[f\left(x\right)=f(-x)\]

График этих функции будет подчиняться закону осевой симметрии по отношению к оси ординат (рис. 1).



Рисунок 1.

Помощь со студенческой работой на тему
Общие свойства функций и построение графиков

Определение 3

Функцию $y=f(x)$, которая имеет своей областью определения множество $X$, будем называть нечетной, если для всех точек из множества $X$ будет выполняться

\[f\left(-x\right)=-f(x)\]

График этих функции будет подчиняться закону центральной симметрии по отношению к началу координат (рис. 2).



Рисунок 2.

Для исследования функции в её аналитической записи заменяют переменную $x$ на переменную $-x$, производят, при необходимости элементарные преобразования, и проверяют условия определений 2 и 3.

Возрастание и убывание функции

Определение 4

Функция $y=f(x)$, которая имеет своей областью определения множество $X$, будем называть возрастающей, если подставив любые две точки получим, что$''$ будет верно $f(x')

Определение 5

Функция $y=f(x)$, которая имеет своей областью определения множество $X$, будем называть убывающей, если подставив любые две точки получим, что будет верно $f\left(x'\right) >f(x'')$.

Чаще всего функции исследуют на возрастание и убывание с помощью средств математического анализа, а именно производной.

Приведем схему для такого исследования.

  1. Найти $D(f)$;
  2. Найти $f'(x)$;
  3. точки, когда $f'\left(x\right)=0$;
  4. точки, когда $f'(x)$ не будет существовать;
  5. Отметить на координатной прямой $D(f)$ и все найденные выше точки;
  6. знак $f'(x)$ на всех получившихся промежутках;
  7. Сделать вывод: там, где $f'\left(x\right)0$ функция будет возрастать.

Выпуклость и вогнутость функции

Определение 6

Функция $y=f(x)$, которая имеет своей областью определения множество $X$ будет называться выпуклой, если подставив любые две точки получим, что неравенство

\[f\left(\frac{x'+x''}{2}\right)\le \frac{f(x')+f(x'')}{2}\]

верно.

Определение 7

Функция $y=f(x)$, которая имеет своей областью определения множество $X$ будет называться вогнутой, если подставив любые две точки получим, что неравенство

\[f\left(\frac{x'+x''}{2}\right)\ge \frac{f(x')+f(x'')}{2}\]

верно.

Схема исследования:

Найти

  1. $D(f)$;
  2. $f''(x)$;
  3. точки, когда $f''\left(x\right)=0$;
  4. точки, когда $f''(x)$ не будет существовать;
  5. знак $f''(x)$ на каждом из найденных промежутков;
  6. если $f''\left(x\right)0$ то вогнутой.

Пример исследования и построения функции

Пример 1

Исследовать данную функцию и построить график:

\[f\left(x\right)=sinx-cosx\]
  1. $D\left(f\right)=R$

    \[\ E\left(f\right)=\left(-\infty ,0\right)\cup (0,+\infty ).\]
  2. \[f\left(-x\right)=-cosx-sinx\]

    Следовательно, данная функция -- общего вида.

  3. \[sinx-cosx=0\] \[x=\frac{\pi }{4}+\pi n,n\in Z\]

    Пересечение с осью $Ox$: $\left(\frac{\pi }{4}+\pi n,0\right)$

    Пересечение с осью $Oy$: $\left(0,-1\right)$

    На интервале $x\in \left(\frac{\pi }{4}+2\pi n,\frac{5\pi }{4}+2\pi n\right)$ функция будет принимать положительные значения, на интервале $x\in \left(-\frac{3\pi }{4}+2\pi n,\frac{\pi }{4}+2\pi n\right)$ функция будет принимать отрицательные значения.

  4. \[y'=sinx+cosx\] \[sinx+cosx=0\] \[x=-\frac{\pi }{4}+\pi n,n\in Z\]

    Функция возрастает на $\left(-\frac{\pi }{4}+2\pi n,\frac{3\pi }{4}+2\pi n\right)$ и убывает на$\left(\frac{3\pi }{4}+2\pi n,\frac{7\pi }{4}+2\pi n\right)$.

  5. \[y^{''}=cosx-sinx\] \[-sinx+cosx=0\] \[x=\frac{\pi }{4}+\pi n,n\in Z\]

    На интервале $\left(\frac{\pi }{4}+2\pi n,\frac{5\pi }{4}+2\pi n\right)$ функция вогнута, на интервале $\left(-\frac{3\pi }{4}+2\pi n,\frac{\pi }{4}+2\pi n\right)$ функция выпукла.



    Рисунок 3.

comments powered by HyperComments