Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Центральная симметрия

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Математика / Движение / Центральная симметрия
Центральная симметрия

В данной статье мы будем рассматривать понятие центральной симметрии в трехмерном пространстве. Случай центральной симметрии на плоскость был рассмотрен нами в другой статье.

Понятие движения

Перед тем, как ввести понятие движения в пространстве, надо ввести определение отображения пространства на себя.

Определение 1

Отображением пространства на себя будем называть такое соответствие любой точке данного пространства какой-либо точке этого же пространства, в котором участвуют все точки из этого пространства.

Введем теперь, непосредственно, определение движения.

Определение 2

Движением пространства будем называть отображением пространства на себя, которое сохраняется расстояния между соответствующими точками.

Пример – рисунок 1.

Введем теперь несколько теорем, связанных с понятием движения без доказательства.

Теорема 1

При движении отрезок будет отображаться на ему же равный отрезок.

Теорема 2

При движении треугольник будет отображаться на равный ему же треугольник.

Теорема 3

При движении пирамида будет отображаться на равную ей пирамиду.

Центральная симметрия

Перед тем, как определить понятие центральной симметрии, введем понятие симметричности точки относительно другой точки.

Определение 3

Точки $X$ и $X_1$ будем называть симметричными относительно какой-либо точки $O$, если эта точка $O$ будет являться центром отрезка $[XX_1]$ (рис. 2).

Определение 4

Центральной симметрией фигуры относительно точки будем называть отображение, при котором получается фигура, составленная из точек, симметричных относительно данной точки каждой точке начальной фигуры.

Введем следующую теорему:

Теорема 4

Центральная симметрия – движение.

Доказательство.

Пусть нам даны две точки $Z$ и $Z'$ – симметричные относительно точки $O$. Построит систему координат $O_{xyz}$, где точка $O$ - ее центр. Пусть точка $Z$ в этой системе координат имеет координаты $(α,β,γ)$, а точка $Z'$ имеет координаты $(α',β',γ')$. Так как эти точки симметричны относительно начала координат (то есть начало координат, по определению 3, является серединой отрезка $[ZZ']$, то верны равенства

$\frac{α+α'}{2}=0$, $\frac{β+β'}{2}=0$, $\frac{γ+γ'}{2}=0$

то есть

$α=-α'$, $β=-β'$, $γ=-γ'$

Возьмем две произвольные точки $X$ и $Y$ с координатами $(α_1,β_1,γ_1)$ и $(α_2,β_2,γ_2)$, соответственно. Расстояние между ними равно

$d=\sqrt{(α_1-α_2)^2+(β_1-β_2)^2+(γ_1-γ_2)^2}$

По формулам выше, получим, что симметричные им точки $X'$ и $Y'$ имеют координаты $(-α_1,-β_1,-γ_1)$ и $(-α_2,-β_2,-γ_2)$, соответственно. Расстояние между ними равно

$d'=\sqrt{(-α_1+α_2 )^2+(-β_1+β_2 )^2+(-γ_1+γ_2 )^2}=\sqrt{(α_1-α_2)^2+(β_1-β_2)^2+(γ_1-γ_2)^2}=d$

То есть центральная симметрия сохраняет расстояния, что и доказывает нашу теорему.

С понятием центральной симметрии также связано понятие симметричной фигуры:

Определение 5

Фигуру будем называть симметричной относительно какой-то своей точки $O$, если при такой центральной симметрии фигура перейдет в себя (рис. 3).

Пример задачи

Пример 1

Постройте центральную симметрию тетраэдра, относительно точки $O$, изображенных на рисунке 4.

Решение.

Для построения такой центральной симметрии сначала проведем через все точки тетраэдра прямые, каждая из которых будет проходить через точку $O$ (рис. 5).

Далее, для построения будем использовать определение 3. Точка $A$ перейдет в такую точку $A'$, которая будет принадлежать прямой $(AO)$. Точка $B$ перейдет в такую точку $B'$, которая будет принадлежать прямой $(BO)$. Точка $C$ перейдет в такую точку $C'$, которая будет принадлежать прямой $(CO)$. Аналогично, и точка $D$ перейдет в такую точку $D'$, которая будет принадлежать прямой $(DO)$. Причем, при этом выполняются равенства:

$|AO|=|A'O|$, $|BO|=|B'O|$, $|CO|=|C'O|$, $|DO|=|D'O|$

Таким образом, центральная симметрия этого тетраэдра изображена на рисунке 6.