Processing math: 100%
Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Возрастание и убывание функций, экстремумы

Экстремумы функции

Определение 1

Точки x0 называются точками экстремума функции, если они являются точками максимума и минимума для функции f(x).

Определение 2

Точка x0 называется точкой максимума функции f(x), если существует такая окрестность данной точки, что для всех x из этой окрестность выполняется неравенство f(x)f(x0).

Определение 3

Точка x0 называется точкой максимума функции f(x), если существует такая окрестность данной точки, что для всех x из этой окрестность выполняется неравенство f(x)f(x0).

Понятие экстремума функции тесно связано с понятием критической точки функции. Введем её определение.

Определение 4

x0 называется критической точкой функции f(x), если:

1) x0 - внутренняя точка области определения;

2) f(x0)=0 или не существует.

Для понятия экстремума можно сформулировать теоремы о достаточных и необходимых условиях его существования.

Теорема 1

Необходимое условие экстремума

Если функция y=f(x) имеет экстремум в точке x0, то либо f(x0)=0, либо производная в точке x0 не существует.

Теорема 2

Достаточное условие экстремума

Пусть точка x0 является критической для функции y=f(x) и лежит в интервале (a,b). Пусть на каждом интервале (a,x0) и (x0,b) производная f(x) существует и сохраняет постоянный знак. Тогда:

1) Если на интервале (a,x0) производная f(x)>0, а на интервале (x0,b) производная $f'\left(x\right)

2) Если на интервале (a,x0) производная f(x)0, то точка x0 - точка минимума для данной функции.

3) Если и на интервале (a,x0), и на интервале (x0,b) производная f(x)>0 или производная $f'\left(x\right)

Данная теорема проиллюстрирована на рисунке 1.

Достаточное условие существования экстремумов

Рисунок 1. Достаточное условие существования экстремумов

Примеры экстремумов (Рис. 2).

Примеры точек экстремумов

Рисунок 2. Примеры точек экстремумов

«Возрастание и убывание функций, экстремумы» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Найти

Правило исследования функции на экстремум

1) Найти область определения функции f(x);

2) Найти производную f(x);

3) Найти точки, в которых выполняется равенство f(x)=0;

4) Найти точки, в которых f(x) не существует;

5) Отметить на координатной прямой все найденные точки и область определения данной функции;

6) Определить знак производной f(x) на каждом получившемся промежутке;

7) Сделать выводы о наличии максимумов и минимумов на каждом промежутке, используя теорему 2.

Возрастание и убывание функции

Введем, для начала, определения возрастающей и убывающей функций.

Определение 5

Функция y=f(x), определенная на промежутке X, называется возрастающей, если для любых точек x1,x2X при $x_1

Определение 6

Функция y=f(x), определенная на промежутке X, называется убывающей, если для любых точек x1,x2X при x1f(x2).

Исследование функции на возрастание и убывание

Исследовать функции на возрастание и убывание можно с помощью производной.

Для того чтобы исследовать функцию на промежутки возрастания и убывания, необходимо сделать следующее:

1) Найти область определения функции f(x);

2) Найти производную f(x);

3) Найти точки, в которых выполняется равенство f(x)=0;

4) Найти точки, в которых f(x) не существует;

5) Отметить на координатной прямой все найденные точки и область определения данной функции;

6) Определить знак производной f(x) на каждом получившемся промежутке;

7) Сделать вывод: на промежутках, где f(x)0 функция возрастает.

Примеры задач на исследования функций на возрастание, убывание и наличие точек экстремумов

Пример 1

Исследовать функцию на возрастание и убывание, и наличие точек максимумов и минимумов: f(x)=2x315x2+36x+1

Так как первые 6 пунктов совпадают, проведем для начала их.

1) Область определения - все действительные числа;

2) f(x)=6x230x+36;

3) f(x)=0;

6x230x+36=0
x25x+6=0
x=3, x=2

4) f(x) существует во всех точках области определения;

5) Координатная прямая:



Рисунок 3.

6) Определить знак производной f(x) на каждом промежутке:

f(x)>0, при (,2) (3,+)
\[f'\left(x\right)7) Изобразим все на одном рисунке:



Рисунок 4.

Получаем:

Функция возрастает, при (,2) (3,+), функция убывает, при (2,3).

Точка x=2 - точка максимума, точка x=3 - точка минимума.

Дата последнего обновления статьи: 10.03.2024
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Крупнейшая русскоязычная библиотека студенческих решенных задач
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Возрастание и убывание функций, экстремумы"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant