Десятичный логарифм
Десятичным логарифмом называют логарифм, который имеет в основании число $10$.
Десятичный логарифм вматематике принято обозначать $\lg$:
$\lg a=\log_{10}a$.
Название десятичного логарифма происходит именно от его основания, которое равняется десяти.
Иногда можно встретить следующее обозначение десятичного логарифма:
$\log a$.
Согласно определению логарифма можно сделать вывод, что десятичный логарифм $\lg a$ является решением показательного уравнения $10^b=a$.
Свойства десятичного логарифма
-
Т.к. логарифм по любому основанию от $1$ равен $0$, то и десятичный логарифм единицы равен $0$:
$\lg 1=0$.
-
Десятичный логарифм от числа $10$ равен единице:
$\lg 10=1$.
-
Десятичный логарифм произведения двух чисел равен сумме десятичных логарифмов от этих чисел:
$\lg (ab)=\lg a+\lg b$.
-
Десятичный логарифм частного двух чисел равен разнице десятичных логарифмов этих чисел:
$\lg \frac{a}{b}=\lg a-\lg b$.
-
Десятичный логарифм степени числа может быть представлен в виде произведения показателя степени на десятичный логарифм подлогарифмического числа:
$\lg a^s=s \cdot \lg a$.
Упростить выражение $\frac{2 \lg 40-\lg 16}{\lg 50-\frac{1}{2} \lg 25}$.
Решение.
Применим к первому логарифму в числителе и в знаменателе свойство логарифма произведения, а ко второму логарифму числителя и знаменателя – свойство логарифма степени:
$\frac{2 \lg 40-\lg 16}{\lg 50-\frac{1}{2} \lg 25}=\frac{2(\lg 4+\lg 10 )-\lg 4^2}{\lg 5+\lg 10-\frac{1}{2} \lg 5^2}=$
откроем скобки и приведем подобные слагаемые, а также применим свойство $\lg 10=1$:
$=\frac{2 \lg 4+2-2 \lg 4}{\lg 5+1-\frac{1}{2} \cdot 2 \lg 5}=\frac{2}{\lg 5+1-\lg 5}=2$.
Ответ: $\frac{2 \lg 40-\lg 16}{\lg 50-\frac{1}{2} \ln 25}=2$.
Вычислить значение логарифмического выражения $\lg 200+\lg \frac{1}{20}$.
Решение.
Применим формулу суммы логарифмов:
$\lg 200+\lg \frac{1}{20}=\lg (200 \cdot \frac{1}{20})=\lg 10=1$.
Ответ: $\lg 200+\lg \frac{1}{20}=1$.
Вычислить значение логарифмического выражения $2 \ln \frac{1}{e^2}+3 \lg 10000$.
Решение.
Применим свойство логарифма степени:
$2 \ln \frac{1}{e^2}+3 \lg 10000=2 \ln e^{-2}+3 \lg 10^4=2 \cdot (-2) \ln e+3 \cdot 4 \lg 10=-4 \ln e+12 \lg 10=$
теперь применим свойство логарифма, у которого основание равно подлогарифмическому числу:
$=-4 \cdot 1+12 \cdot 1=8$.
Ответ: $2 \ln \frac{1}{e^2}+3 \lg 10000=8$.
Упростить логарифмическое выражение $\lg \frac{1}{8}-3 \lg 4$.
Решение.
Применим свойство логарифма степени:
$\lg \frac{1}{8}-3 \lg 4=\lg 2^{-3}-3 \lg 2^2=-3 \lg 2-3 \cdot 2 \lg 2=-9 \lg 2$.
Ответ: $\lg \frac{1}{8}-3 \lg 4=-9 \lg 2$.
Вычислить значение логарифмического выражения $3 \lg 0,09-2 \lg 27$.
Решение.
Применим к обоим логарифмам свойство логарифма степени:
$3 \lg \frac{9}{10^2}-2 \lg 27=3 \lg (\frac{3}{10})^2-2 \lg 3^3=3 \cdot 2 \lg \frac{3}{10}-2 \cdot 3 \lg 3=6 \lg \frac{3}{10}-6 \lg 3=$
применим к первому логарифму свойство логарифма частного:
$=6(\lg 3-\lg 10 )-6 \lg 3=$
откроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$=6 \lg 3-6 \lg 10-6 \lg 3=-6$.
Ответ: $3 \lg 0,09-2 \lg 27=-6$.
Упростить логарифмическое выражение $\lg 0,81-2 \lg 9$.
Решение.
Применим ко второму логарифму свойство логарифма степени, внеся число $2$ под знак логарифма:
$\lg 0,81-\lg 9^2=\lg 0,81-\lg 81=$
применим формулу разности логарифмов:
$=\lg \frac{0,81}{81}=\lg 0,01=$
запишем число под знаком логарифма как $10$ в степени:
$=\lg 10^{-2}=$
применим формулу логарифма степени:
$=-2 \lg 10=-2$.
Ответ: $\lg 0,81-2 \lg 9=-2$.
Вычислить значение логарифмического выражения $\frac{2 \lg 2-\lg 16}{\lg 4+\lg 16}$.
Решение.
Внесем число $2$ в числителе под знак логарифма:
$\frac{2 \lg 2-\lg 16}{\lg 4+\lg 16}=\frac{\lg 2^2-\lg 16}{\lg 4+\lg 16}=$
применим формулы разности и суммы логарифмов:
$=\frac{\lg \frac{4}{16}}{\lg (4 \cdot 16)} =\frac{\lg \frac{1}{4}}{\lg 64} =$
применим формулу логарифма степени, записав число под знаком логарифма как число $4$ в степени:
$=\frac{\lg 4^{-1}}{\lg 4^3} =\frac{-\lg 4}{3 \lg 4}=-\frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{2 \lg 2-\lg 16}{\lg 4+\lg 16} =-\frac{1}{3}$.
Преобразовать логарифмическое выражение $\lg \frac{100}{e}$.
Решение.
Применим формулу логарифма частного:
$\lg \frac{100}{e}=\lg 100-\lg e=$
к первому логарифму применим формулу логарифма степени:
$=\lg 10^2-\lg e=2 \lg 10-\lg e=$
применив свойство значения логарифма с одинаковым основанием и подлогарифмическим числом, получим:
$=2 \cdot 1-\lg e=2-\lg e$.
Ответ: $\lg \frac{100}{e}=2-\lg e$.