Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Максимум и минимум функции

Одним из этапов исследования функции является нахождение экстремумов заданной функции, другими словами, максимума и минимума функции.

Определение 1

Некоторая точка называется точкой минимума заданной функции $y=f(x)$, если для всех точек из некоторой окрестности данной точки справедливо неравенство $f(x)\ge f(x_{0} )$, $x_{0} $ - точка минимума.

Определение 2

Некоторая точка называется точкой максимума заданной функции $y=f(x)$, если для всех точек из некоторой окрестности данной точки справедливо неравенство $f(x)\le f(x_{0} )$, $x_{0} $ - точка максимума.

Точки экстремума показаны на рис.



Рисунок 1.

Пример 1

Функция вида $y=ax^{2} +bx+c$ (парабола) имеет на области определения:

  • минимум, если $a>0$;
  • максимум, если $a

Экстремум параболы, рассматриваемой на всей области определения, совпадает с ее вершиной (рис.).



Рисунок 2.

Значения заданной функции в точках минимума и максимума называются соответственно минимумом и максимумом заданной функции.

Экстремумы функции делятся на:

  • локальный экстремум;
  • глобальный экстремум.

Определения 1 и 2 относятся к локальным экстремумам: локальный минимум и локальный максимум.

Наименьшее и наибольшее значения заданной функции на некотором промежутке являются глобальными экстремумами.

Примечание 1

Глобальные экстремумы могут достигаться либо в точках локального экстремума, либо на концах отрезка.

Необходимое условие экстремума определяется следующей теоремой.

Готовые работы на аналогичную тему

Теорема 1

Если заданная функция $y=f(x)$ имеет экстремум в некоторой точке $x_{0} $, то ее производная $f'(x)$ в данной точке либо равна нулю, либо не существует.

Достаточные условия экстремума определяются следующими теоремами.

Теорема 2

Первое условие.

Пусть для заданной функции $y=f(x)$ выполнены условия:

  1. данная функция $y=f(x)$непрерывна в окрестности точки $x_{0} $;
  2. $f'(x)$ при $x=x_{0} $ равна нулю или $f'(x)$ не существует;
  3. производная $f'(x)$ при переходе через данную точку $x_{0} $ меняет знак.

Тогда в точке $x=x_{0} $ заданная функция $y=f(x)$ имеет экстремум, причем он является минимумом, если при переходе через точку $x_{0} $ производная меняет знак с «-» на «+»; является минимумом, если при переходе через точку $x_{0} $ производная меняет знак с «+» на «-».

Теорема 3

Второе условие.

Пусть для заданной функции $y=f(x)$ выполнены условия:

  1. данная функция $y=f(x)$непрерывна в окрестности точки $x_{0} $;
  2. $f'(x)$ при $x=x_{0} $ равна нулю;
  3. $f''(x)$ при $x=x_{0} $ не равна нулю.

Тогда в точке $x=x_{0} $ заданная функция $y=f(x)$ имеет экстремум, причем, если $f''(x)>0$ при $x=x_{0} $, то в данной точке заданная функция $y=f(x)$ имеет минимум; если $f''(x)

Примечание 2

Если $f'(x)$ при переходе через точку $x_{0} $ не меняет свой знак, то в данной точке экстремума нет.

Алгоритм исследования заданной функции на экстремум включает следующие этапы:

  • нахождение производной $f'(x)$;
  • нахождение критических и стационарных точек, т.е. точек, в которых производная не существует или равна нулю;
  • исследовать знак $f'(x)$на промежутках с помощью числовой прямой;
  • определение экстремумов;
  • нахождение значения заданной функции в точках экстремума.
Пример 2

Исследовать заданную функцию на минимум и максимум: $y=2x^{3} +12$.

Решение:

  1. Найдем первую производную заданной функции: $y'=(2x^{3} +12)'=6x^{2} $.

  2. Найдем критические и стационарные точки:

\[y'(x)=0;\, 6x^{2} =0;\, \, \, x=0.\]
  1. Исследуем знак $f'(x)$ с помощью числовой прямой:



Рисунок 3.

  1. Так как производная заданной функции не меняет знак при переходе через критическую точку, то в данной точке нет ни максимума, ни минимума.

График заданной функции приведен на рис.



Рисунок 4.

Пример 3

Исследовать заданную функцию на минимум и максимум: $y=2x^{2} +12x$.

Решение:

  1. Найдем первую производную заданной функции: $y'=(2x^{2} +12x)'=4x+12$.

  2. Найдем критические и стационарные точки:

\[y'(x)=0;\, 4x+12=0;\, \, \, x=-3.\]
  1. Исследуем знак $f'(x)$ с помощью числовой прямой:



Рисунок 5.

  1. $x=-3$ - точка минимума

  2. $y(-3)=2\cdot (-3)^{2} +12\cdot (-3)=2\cdot 9-36=18-36=-18$

График заданной функции приведен на рис.



Рисунок 6.

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Елена Борисовна Калюжная

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис