Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Логарифмическая функция, ее свойства и график

Понятие логарифмической функции

Для начала вспомним, что же вообще такое логарифм.

Определение 1

Логарифмом числа $b\in R$ по основанию $a$ ($a>0,\ a\ne 1$) называется число $c$, в которое нужно возвести число $a$, чтобы получить число $b$.

Рассмотрим показательную функцию $f\left(x\right)=a^x$, где $a >1$. Эта функция возрастает, непрерывна и отображает действительную ось на интервал $(0,+\infty )$. Тогда, по теореме о существовании обратной непрерывной функции, у нее в множестве $Y=(0,+\infty )$ существует обратная функция $x=f^{-1}(y)$, которая также непрерывна и возрастает в $Y$ и отображает интервал $(0,+\infty )$ на всю действительную ось. Эту обратную функцию называют логарифмической функцией по основанию $a\ (a >1)$ и обозначается $y={{log}_a x\ }$.

Теперь рассмотрим показательную функцию $f\left(x\right)=a^x$, где $0

Таким образом, мы определили логарифмическую функцию при всех возможных значениях основания $a$. Рассмотрим далее два этих случая отдельно.

Функция $y={{log}_a x\ },\ a >1$

Рассмотрим свойства данной функции.

  1. Область определения -- интервал $(0,+\infty )$;

  2. Область значения -- все действительные числа;

  3. Функция не является ни четной, ни нечетной.

  4. Точки пересечения с осями координат:

    С осью $Oy$ пересечений нет.

    При $y=0$, ${{log}_a x\ }=0,\ x=1.$ Пересечение с осью $Ox$: (1,0).

  5. Функция положительна, при $x\in (1,+\infty )$ и отрицательна, при $x\in (0,1)$

  6. $y'=\frac{1}{xlna}$;

  7. Точки минимума и максимума:

    \[\frac{1}{xlna}=0-корней\ нет\]

    Точек максимума и минимума нет.

  8. Функция возрастает на всей области определения;

  9. $y^{''}=-\frac{1}{x^2lna}$;

  10. Промежутки выпуклости и вогнутости:

    \[-\frac{1}{x^2lna}Функция выпукла на всей области определения;
  11. ${\mathop{lim}_{x\to 0} y\ }=-\infty ,\ {\mathop{lim}_{x\to +\infty } y\ }=+\infty ,\ $;

  12. График функции (Рис. 1).

Готовые работы на аналогичную тему

График функции $y={{log}_a x\ },\ a >1$

Рисунок 1. График функции $y={{log}_a x\ },\ a >1$

Функция $y={{log}_a x\ }, \ 0

Рассмотрим свойства данной функции.

  1. Область определения -- интервал $(0,+\infty )$;

  2. Область значения -- все действительные числа;

  3. Функция не является ни четной, ни нечетной.

  4. Точки пересечения с осями координат:

    С осью $Oy$ пересечений нет.

    При $y=0$, ${{log}_a x\ }=0,\ x=1.$ Пересечение с осью $Ox$: (1,0).

  5. Функция положительна, при $x\in (0,1)$ и отрицательна, при $x\in (1,+\infty )$

  6. $y'=\frac{1}{xlna}$;

  7. Точки минимума и максимума:

    \[\frac{1}{xlna}=0-корней\ нет\]

    Точек максимума и минимума нет.

  8. Функция убывает на всей области определения;

  9. $y^{''}=-\frac{1}{x^2lna}$;

  10. Промежутки выпуклости и вогнутости:

    \[-\frac{1}{x^2lna}>0\]

    Функция вогнута на всей области определения;

  11. ${\mathop{lim}_{x\to 0} y\ }=+\infty ,\ {\mathop{lim}_{x\to +\infty } y\ }=-\infty ,\ $;

  12. График функции (Рис. 2).

График функции

Примеры исследования и построения логарифмических функций

Пример 1

Исследовать и построить график функции $y=2-{{log}_2 x\ }$

  1. Область определения -- интервал $(0,+\infty )$;

  2. Область значения -- все действительные числа;

  3. Функция не является ни четной, ни нечетной.

  4. Точки пересечения с осями координат:

    С осью $Oy$ пересечений нет.

    При $y=0$, $2-{{log}_2 x\ }=0,\ x=4.$ Пересечение с осью $Ox$: (4,0).

  5. Функция положительна, при $x\in (0,4)$ и отрицательна, при $x\in (4,+\infty )$

  6. $y'=-\frac{1}{xln2}$;

  7. Точки минимума и максимума:

    \[-\frac{1}{xln2}=0-корней\ нет\]

    Точек максимума и минимума нет.

  8. Функция убывает на всей области определения;

  9. $y^{''}=\frac{1}{x^2ln2}$;

  10. Промежутки выпуклости и вогнутости:

    \[\frac{1}{x^2ln2} >0\]

    Функция вогнута на всей области определения;

  11. ${\mathop{lim}_{x\to 0} y\ }=+\infty ,\ {\mathop{lim}_{x\to +\infty } y\ }=-\infty ,\ $;

  12. График функции:



Рисунок 3.

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Елена Борисовна Калюжная

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис