Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Исследование функции на максимум и минимум с помощью производной

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Математика / Общий план исследования функций и построения графиков / Исследование функции на максимум и минимум с помощью производной
Исследование функции на максимум и минимум с помощью производной

Проводить исследование заданной функции на минимум и максимум можно двумя способами:

  • с помощью первой производной - $f'(x)$;
  • с помощью второй производной - $f''(x)$.

Алгоритм исследования с помощью первой производной включает следующие этапы:

  • нахождение первой производной заданной функции - $f'(x)$;
  • нахождение критических точек ($f'(x)=0$ или не существует);
  • исследование знака $f'(x)$ с помощью числовой прямой;
  • определение характера критической точки;
  • вычисление значения $f(x)$ при каждом критическом значении переменной.

Все возможные варианты, которые могут получиться в результате исследования, сведем в одну таблицу.



Рисунок 1.

Пример 1

Исследовать заданную функцию на минимум и максимум: $y=3x^{2} -5x$.

Решение:

  1. Найдем первую производную заданной функции: $y'=(3x^{2} -5x)'=6x-5$.

  2. Найдем критические точки:

\[y'(x)=0;\, \, \, 6x-5=0;\, \, \, x=\frac{5}{6} .\]
  1. Исследуем знак $f'(x)$ с помощью числовой прямой:



Рисунок 2.

  1. Так как производная заданной функции меняет знак с «-» на «+», то имеем точку минимума.

  2. Вычислим значение заданной функции в точке минимума:

\[y\left(\frac{5}{6} \right)=3\cdot \left(\frac{5}{6} \right)^{2} -5\cdot \frac{5}{6} =\frac{25}{12} -\frac{25}{6} =\frac{25-50}{12} =-\frac{25}{12} =-2\frac{1}{12} .\]

График заданной функции приведен на рис.



Рисунок 3.

Пример 2

Исследовать заданную функцию на минимум и максимум: $y=3x^{3} +2$.

Решение:

  1. Найдем первую производную заданной функции: $y'=(3x^{3} +2)'=9x^{2} $.

  2. Найдем критические точки:

\[y'(x)=0;\, \, 9x^{2} =0;\, \, \, x=0.\]
  1. Исследуем знак $f'(x)$ с помощью числовой прямой:



Рисунок 4.

  1. Так как производная заданной функции не меняет знак при переходе через критическую точку, то в данной точке нет ни максимума, ни минимума.

График заданной функции приведен на рис.



Рисунок 5.

Для исследования заданной функции на минимум и максимум с помощью второй производной необходимо пользоваться следующей теоремой.

Теорема 1

Рассмотрим функцию $y=f(x)$. Пусть $x_{1} $ - критическая точка ($f'(x_{1} )=0$).

Тогда данная функция имеет максимум в критической точке $x=x_{1} $, если $f''(x_{1} )0$.

Примечание 1

Если $f''(x_{1} )=0$ в критической точке $x=x_{1} $, то для данной функции $y=f(x)$ нельзя определить с помощью второй производной характер критической точки.

Алгоритм исследования с помощью первой производной включает следующие этапы:

  • нахождение первой производной заданной функции - $f'(x)$;
  • нахождение критических точек ($f'(x)=0$ или не существует);
  • нахождение второй производной заданной функции - $f''(x)$;
  • исследование знака $f''(x)$ в критической точке;
  • определение характера критической точки;
  • вычисление значения $f(x)$ при каждом критическом значении переменной.

Все возможные варианты, которые могут получиться в результате исследования, сведем в одну таблицу.



Рисунок 6.

Пример 3

Исследовать заданную функцию на минимум и максимум: $y=12x^{3} +4$.

Решение:

  1. Найдем первую производную заданной функции: $y'=(12x^{3} +4)'=36x^{2} $.

  2. Найдем критические точки:

\[y'(x)=0;\, \, 36x^{2} =0;\, \, \, x=0.\]
  1. Найдем вторую производную заданной функции: $y''=(36x^{2} )'=72x$.

  2. Исследуем знак $f''(x)$ в критической точке: $y''(0)=72\cdot 0=0$

  3. Так как вторая производная заданной функции обращается в ноль в критической точке, то мы не можем определить характер критической точки с ее помощью.

  4. Для определения характера критической точки воспользуемся первой производной. Исследуем знак $f'(x)$ с помощью числовой прямой:



Рисунок 7.

  1. Так как производная заданной функции не меняет знак при переходе через критическую точку, то в данной точке нет ни максимума, ни минимума

График заданной функции приведен на рис.



Рисунок 8.

Пример 4

Исследовать заданную функцию на минимум и максимум: $y=\cos x$.

Решение:

Поскольку заданная функция является периодической с периодом $2\pi $, то можно ограничиться исследованием функции на отрезке $[0;2\pi ]$.

  1. Найдем первую производную заданной функции: $y'=(\cos x)'=-\sin x$.

  2. Найдем критические точки:

\[y'(x)=0;\, \, -\sin x=0\] \[x_{1} =0,x_{2} =\pi ,x_{3} =2\pi .\]
  1. Найдем вторую производную заданной функции: $y''=(-\sin x)'=-\cos x$.

  2. Исследуем знак $f''(x)$ в критических точках:

\[y''(0)=-\cos 0=-10; y''(2\pi )=-\cos 2\pi =-1
  • Следовательно, в точках $x_{1} =0,x_{3} =2\pi $ имеем максимум данной функции, а в точке $x_{2} =\pi $ - минимум данной функции.

  • Вычислим значения заданной функции $f(x)$ при каждом критическом значении переменной:

  • \[y(0)=\cos 0=1; y(\pi )=\cos \pi =-1; y(2\pi )=\cos 2\pi =1\]

    График заданной функции приведен на рис.



    Рисунок 9.