Показательная функция с комплексным показателем

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

В теории функций некоторое комплексное число $z=x+y\cdot i$ , где $x,y\in R$ , рассматривают в качестве комплексной переменной.

Каждое значение комплексного переменного $z$ можно изобразить на комплексной плоскости $xOy$ с помощью точки $(x;y)$ . Следовательно, каждому значению комплексного переменного ставится в соответствие точка комплексной плоскости.

Определение 1

Комплексная величина $w$ называется функцией комплексного переменного $z$ , если каждому значению комплексного переменного $z$ соответствует определенное значение комплексной величины $w$ . Обозначение: $w=f(z)$ .

Среди функций комплексного переменного рассматривают те же функции, что и для действительных переменных, в частности, показательную функцию и т.д.

Определение 2

Функция комплексного переменного, задаваемая формулой $w=e^{z}$ , называется показательной функцией комплексного переменного.

Каждое значение показательной функции $w=e^{z}$ определяется следующим образом:

$w=e^{x+yi}$

$e^{x+yi} =e^{x} \cdot (\cos y+i\cdot \sin y)$

Следовательно,

$w(z)=e^{x} \cdot (\cos y+i\cdot \sin y).$

Пример 1

Вычислить значение показательной функции комплексного переменного $w=e^{z}$ при:

1) $z=2+\frac{\pi }{4} \cdot i$ ; 2) $z=0+\pi \cdot i$ ; 3) $z=4+0\cdot i$ .

Решение:

Значение определяем по формуле:

$w(z)=e^{x} \cdot (\cos y+i\cdot \sin y).$

1) Для $z=2+\frac{\pi }{4} \cdot i$ получаем

$w\left(2+\frac{\pi }{4} \cdot i\right)=e^{2+\frac{\pi }{4} \cdot i} =e^{2} \cdot \left(\cos \frac{\pi }{4} +i\cdot \sin \frac{\pi }{4} \right)=e^{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{2} }{2} +i\cdot \frac{\sqrt{2} }{2} \right).$

2) Для $z=0+\pi \cdot i$ получаем

$w\left(0+\pi \cdot i\right)=e^{0+\pi \cdot i} =e^{0} \cdot \left(\cos \pi +i\cdot \sin \pi \right)=e^{0} \cdot \left(-1+i\cdot 0\right)=-1+0\cdot i.$

3) Для $z=4+0\cdot i$ получаем

$w\left(4+0\cdot i\right)=e^{4+0\cdot i} =e^{4} \cdot \left(\cos 0+i\cdot \sin 0\right)=e^{4} \cdot \left(1+i\cdot 0\right)=e^{4} .$

Свойства показательной функции комплексного переменного $w=e^{z}$ аналогичны свойствам показательной функции действительного переменного $y=e^{x}$ .

Свойства:

1) $e^{z_{1} +z_{2} } =e^{z_{1} } \cdot e^{z_{2} }$ ( $z_{1} =x_{1} +y_{1} \cdot i,\, \, z_{2} =x_{2} +y_{2} \cdot i$ );

2) $e^{z_{1} -z_{2} } =\frac{e^{z_{1} } }{e^{z_{2} } }$ ( $z_{1} =x_{1} +y_{1} \cdot i,\, \, z_{2} =x_{2} +y_{2} \cdot i$ );

3) $(e^{z} )^{m} =e^{mz} \, \, \, (m\in Z,\, \, z=x+y\cdot i)$ ;

4) $e^{z+2\pi i} =e^{z} \, \, \, (z=x+y\cdot i)$ .

«Показательная функция с комплексным показателем» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Найти

Замечание

Показательная функция комплексного переменного $w=e^{z}$ является периодической функцией, период которой равен $2\pi$ .

Пример 2

Вычислить:

1) $e^{3+2\pi i} \cdot e^{1+0\cdot i}$ ; 2) $e^{0+\frac{\pi }{2} i} \cdot e^{1+\pi \cdot i}$ ; 3) $\frac{e^{2+\pi \cdot i} }{e^{1+\pi \cdot i} }$ ; 4) $\left(e^{2+\frac{\pi }{4} i} \right)^{2}$ .

Решение:

При выполнении вычислений воспользуемся свойствами 1)-3) показательной функции комплексного переменного.

1) $e^{3+2\pi i} \cdot e^{1+0\cdot i} =e^{(3+2\pi i)+(1+0\cdot i)} =e^{4+2\pi \cdot i} =e^{4} \cdot \left(\cos 2\pi +i\cdot \sin 2\pi \right)=e^{4} +0\cdot i=e^{4}$ ;

2) $e^{0+\frac{\pi }{2} i} \cdot e^{1+\pi \cdot i} =e^{(0+\frac{\pi }{2} i)+(1+\pi \cdot i)} =e^{1+\frac{3\pi }{2} \cdot i} =e^{1} \cdot \left(\cos \frac{3\pi }{2} +i\cdot \sin \frac{3\pi }{2} \right)=e(0-i)=0-e\cdot i=-e\cdot i$ ;

3) $\frac{e^{2+\pi \cdot i} }{e^{1+\pi \cdot i} } =e^{(2+\pi \cdot i)-(1+\pi \cdot i)} =e^{1+0\cdot i} =e^{1} \cdot (\cos 0+i\cdot \sin 0)=e(1+0i)=e+0\cdot i=e$ ;

4) $\left(e^{2+\frac{\pi }{4} i} \right)^{2} =e^{2\cdot \left(2+\frac{\pi }{4} i\right)} =e^{4+\frac{\pi }{2} i} =e^{4} \cdot \left(\cos \frac{\pi }{2} +i\cdot \sin \frac{\pi }{2} \right)=e^{4} \cdot (0+1\cdot i)=0+e^{4} \cdot i=e^{4} \cdot i$ .

Рассмотрим некоторую комплексную величину $w$ , которая задается выражением $w=u(x)+v(x)\cdot i$ , где $u(x),\, \, \, v(x)$ - действительные функции вещественного переменного.

Данная величина является комплексной функцией вещественного переменного.

Для составляющих функции $u(x),\, \, \, v(x)$ рассмотрим два случая.

Случай 1

Функции $u(x),\, \, \, v(x)$ имеют пределы в точке $x_{0}$ , т.е.

$\mathop{\lim }\limits_{x\to x_{0} } u(x)=u(x_{0} )$ и $\mathop{\lim }\limits_{x\to x_{0} } v(x)=v(x_{0} )$ .

Определение 3

Величина $w_{0}$ , которая определяется выражением $u(x_{0} )+i\cdot v(x_{0} )$ , называется пределом комплексной функции $w$ действительного переменного.

Пример 3

Вычислить предел комплексного переменного $w$ при $x\to \infty$ или сделать вывод о том, что предел не существует:

1) $w=\frac{2x-1}{x} +e^{1/x} \cdot i$ ; 2) $w=\frac{x^{2} }{x+1} +\frac{1}{x} \cdot i$ .

Решение:

1) Рассмотрим составляющие функции $w=\frac{2x-1}{x} +e^{1/x} \cdot i$ ,

т.е. $u(x)=\frac{2x-1}{x} ,\, \, \, v(x)=e^{\frac{1}{x} }$ .

Вычислим пределы функций $u(x),\, \, \, v(x)$ :

$\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } u(x)=\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \frac{2x-1}{x} =\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \frac{2-1/x}{1} =\frac{2}{1} =2$

$\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } u(x)=\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } e^{\frac{1}{x} } =e^{\frac{1}{\infty } } =e^{0} =1.$

Пределы обоих составляющих существуют, следовательно, искомый предел равен

$w_{0} = 2+i.$

2) Рассмотрим составляющие функции $w=\frac{x^{2} }{x+1} +\frac{1}{x} \cdot i$ ,

т.е. $u(x)=\frac{x^{2} }{x+1} ,\, \, \, v(x)=\frac{1}{x}$ .

Вычислим пределы функций $u(x),\, \, \, v(x)$ :

$\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } u(x)=\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \frac{x^{2} }{x+1} =\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \frac{1}{1/x+1/x^{2} } =\frac{1}{0+0} =\frac{1}{0} =\infty$

$\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } u(x)=\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } ^{\frac{1}{x} } =\frac{1}{\infty } =0.$

Предел составляющей $u(x)$ при $x\to \infty$ не существуют, следовательно, предел рассматриваемой функции не существует.

Случай 2

Функции $u(x),\, \, \, v(x)$ являются дифференцируемыми.

Определение 4

Выражение $w_{x} '=u'(x)+i\cdot v'(x)$ называется производной комплексной функции действительного переменного по действительному аргументу.

Для функции $w=e^{(\alpha +\beta \cdot i)\cdot x}$ производная вычисляется по формуле

$w'=(\alpha +\beta \cdot i)\cdot e^{(\alpha +\beta \cdot i)\cdot x} .$

Обозначим $\alpha +\beta \cdot i$ через $k$ . Формула перепишется следующим образом:

$(e^{kx} )'=k\cdot e^{kx} .$

Вторая производная вычисляется по формуле

$(e^{kx} )''=k^{2} \cdot e^{kx} .$

Производная порядка $n$ вычисляется по формуле

$(e^{kx} )^{(n)} =k^{n} \cdot e^{kx} .$

Пример 4

Вычислить производные комплексной функции действительного переменного:

1) $w=(3x+2)+(x^{3} +2x)\cdot i$ ; 2) $w=(x+e^{x} )+(3x^{2} +\ln x)\cdot i$ .

Решение:

Для вычисления производной воспользуемся следующей формулой:

$w_{x} '=u'(x)+i\cdot v'(x).$

1) $w_{x} '=(3x+2)'+(x^{3} +2x)'\cdot i=3+(3x^{2} +2)\cdot i$ ;

2) $w_{x} '=(x+e^{x} )'+(3x^{2} +\ln x)'\cdot i=1+e^{x} +\left(6x+\frac{1}{x} \right)\cdot i$ .

Пример 5

Вычислить производные первого и второго порядка показательной функции:

1) $w=e^{(3+4\cdot i)\cdot x}$ ; 2) $w=e^{(2+\pi \cdot i)\cdot x}$ .

Решение:

Для вычисления производных воспользуемся соответствующими формулами:

$w'=(\alpha +\beta \cdot i)\cdot e^{(\alpha +\beta \cdot i)\cdot x}$ и $w'=(\alpha +\beta \cdot i)^{2} \cdot e^{(\alpha +\beta \cdot i)\cdot x}$ .

1) Для функции $w=e^{(3+4\cdot i)\cdot x}$ получаем:

$w'=\left(e^{(3+4\cdot i)\cdot x} \right)'=(3+4\cdot i)\cdot e^{(3+4\cdot i)\cdot x}$

$\begin{array}{l} {w''=\left(e^{(3+4\cdot i)\cdot x} \right)''=(3+4\cdot i)^{2} \cdot e^{(3+4\cdot i)\cdot x} =(9+24\cdot i+16\cdot i^{2} )\cdot e^{(3+4\cdot i)\cdot x} =(9+24\cdot i-16)\cdot e^{(3+4\cdot i)\cdot x} =(-7+24\cdot i)\cdot e^{(3+4\cdot i)\cdot x} } \end{array}$

2) Для функции $w=e^{(2+\pi \cdot i)\cdot x}$ получаем:

$w'=\left(e^{(2+\pi \cdot i)\cdot x} \right)'=(2+\pi \cdot i)\cdot e^{(2+\pi \cdot i)\cdot x}$

$\begin{array}{l} {w''=\left(e^{(2+\pi \cdot i)\cdot x} \right)''=(2+\pi \cdot i)^{2} \cdot e^{(2+\pi \cdot i)\cdot x} =(4+4\pi \cdot i+\pi ^{2} \cdot i^{2} )\cdot e^{(2+\pi \cdot i)\cdot x} =(4+4\pi \cdot i-\pi ^{2} )\cdot e^{(2+\pi \cdot i)\cdot x} =((4-\pi ^{2} )+4\pi \cdot i)\cdot e^{(2+\pi \cdot i)\cdot x} } \end{array}$

Дата последнего обновления статьи: 13.11.2024