Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Определитель матрицы 3 на 3

Все предметы / Математика / Определитель матрицы 3 на 3
Определение 1

Детерминант матрицы (не путайте с дискриминантом для квадратных уравнений) — это определённая матричная характеристика. Иногда вместо термина «детерминант» также используется понятие «определитель».

Детерминант можно посчитать только для квадратных матриц, поэтому при постановке вопроса о нахождении детерминанта для матрицы с размерностью 3 имеют в виду именно квадратную матрицу.

Ниже мы рассмотрим различные способы нахождения определителя 3х3.

Разложение определителя матрицы по строчке

Этот метод сложнее на словах, чем на деле.

Суть его в том, что определитель записывается как сумма произведений элементов первой или любой другой строчки и соответствующих им определителей размером 2 на 2.

Определитель для каждого произведения состоит из элементов, записанных без элементов той строчки и столбца, в которых стоит единичный элемент-множитель.

Также можно осуществлять разложение не только по первой строчке, но и по любой другой или даже столбцу.

Чтобы определить знак, который записывается перед очередным произведением, необходимо помнить, что знаки при элементах чередуются, у первого элемента первой строки — плюс.

То есть произведение при первом элементе первой строчки будет записываться положительным.

Пример 1

Вычислите определитель для $M$ разложением по любой строчке:

$M = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 5 \\ 7 & -4 & 3 \\ -5 & 0 & 10 \\ \end{pmatrix}$

Решение:

Пример матрицы 3х3. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 1. Пример матрицы 3х3. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

В последней строчке присутствует нуль, поэтому удобно будет сделать разложение именно по ней:

$Δ= (-5) \cdot \begin{array}{|cc|} 2 & 5 \\ -4 & 3 \\ \end{array} – 0 \cdot \begin{array} {|cc|} - 1 & 5 \\ 7 & 3 \\ \end{array} + 10 \cdot \begin{array}{|cc|} -1 & 2 \\ 7 & -4 \\ \end{array} = ( - 5 \cdot (6 + 20) – 0 + 10 \cdot (4 – 14) = (-5) \cdot 26 – 0 – 100 = -230$.

Готовые работы на аналогичную тему

Способ «по-французски»: правило Саррюса

Самый легко запоминаемый способ.

Первые два столбика матрицы переписываются рядом справа с исходной матрицей, а дальше рассматриваются левые и правые образуемые диагонали.

Тройки произведений чисел с розовых диагоналей записываются с плюсом, а с синих – с минусом.

Как посчитать матрицу 3 на 3. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 2. Как посчитать матрицу 3 на 3. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пример 2

Посчитайте определитель $М$ этим методом.

Решение:

$Δ = (-1) \cdot (-4) \cdot 10 + 2 \cdot 3 \cdot (-5) + 5 \cdot 7 \cdot 0 – 2 \cdot 7 \cdot 10 - (-1) \cdot 3 \cdot 0 – 5 \cdot (-4) \cdot (-5) = 40 – 30 + 0 -140 – 0 – 100 = 230$.

Мнемоническое правило с треугольниками

Несколько более сложный способ для запоминания в отличие от предыдущего.

Суть его в том, что произведения троек значений с главной диагонали и с двух треугольников, одна из сторон для каждого параллельна главной диагонали, записываются с плюсом, а с минусом записываются те произведения, что на побочной диагонали и двух треугольниках с параллельными ей сторонами (смотрите рисунок).

Как найти детерминант матрицы 3 на 3. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 3. Как найти детерминант матрицы 3 на 3. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Приведение матричной таблицы к треугольной

В этом методе нужно получить матрицу, элементы которой сверху или снизу от главной диагонали равны нулю.

Пример 3

Найти определитель для М с помощью получения треугольной матрицы.

Решение:

Вспомним свойство определителя: из любой строки или столбца можно вынести общий для этой строчки или столбца множитель.

Поэтому:

$\begin{array} {|ccc|} -1 & 2 & 5 \\ 7 & -4 & 3 \\ -5 & 0 & 10 \\ \end{array} = \begin{array} {|ccc|} -1 & 2 & 5 \\ 7 & -4 & 3 \\ -1 \cdot 5 & 0 \cdot 5 & 2 \cdot 5 \\ \end{array}= 5 \cdot \begin{array} {|ccc|} -1 & 2 & 5 \\ 7 & -4 & 3 \\ -1 & 0 & 2 \\ \end{array} = 5 \cdot \begin{array} {|ccc|} -1 & 1 \cdot 2 & 5 \\ 7 & -2 \cdot 2 & 3 \\ -1 & 0 \cdot 2 & 2 \\ \end{array}= 10 \cdot \begin{array} {|ccc|} -1 & 1 & 5 \\ 7 & -2 & 3 \\ -1 & 0 & 2 \\ \end{array}$.

Теперь преобразуем полученную таблицу, для этого начинаем приводить к нулям элементы крайнего левого столбца. Строчки для удобства будем записывать как (n), где n — это номер строчки.

1) (2) $\cdot \frac17$ + (3), результат запишем в третьей строчке:

$ \begin{array} {|ccc|} -1 & 1 & 5 \\ 7 & -2 & 3 \\ 0 & -\frac27 & \frac{17}{7} \\ \end{array}$ ;

2) (1) $ \cdot 7$ + (2), полученное запишем во второй строчке:

$ \begin{array} {|ccc|} -1 & 1 & 5 \\ 0 & 5 & 38 \\ 0 & -\frac27 & \frac{17}{7} \\ \end{array}$ ;

3) (2) $\cdot \frac{2}{35}$ + (3)$, пишем в 3-ью:, пишем в 3-ью:

$ \begin{array} {|ccc|} -1 & 1 & 5 \\ 0 & 5 & 38 \\ 0 & 0 & \frac{23}{5} \\ \end{array}$ ;

Получили матрицу нужного типа. Посчитаем $D$:

$Δ = 10 \cdot (-1) \cdot 5 \cdot \frac{23}{5} = -230$.

Во время использования данного способа внимательно следите за знаками, а также за порядком вычислений.

Теперь вы умеете решать определители матриц наиболее распространёнными способами.

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Александр Мельник

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис