Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Определитель матрицы 3 на 3

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Математика / Определитель матрицы 3 на 3
Определитель матрицы 3 на 3
Определение 1

Детерминант матрицы (не путайте с дискриминантом для квадратных уравнений) — это определённая матричная характеристика. Иногда вместо термина «детерминант» также используется понятие «определитель».

Детерминант можно посчитать только для квадратных матриц, поэтому при постановке вопроса о нахождении детерминанта для матрицы с размерностью 3 имеют в виду именно квадратную матрицу.

Ниже мы рассмотрим различные способы нахождения определителя 3х3.

Разложение определителя матрицы по строчке

Этот метод сложнее на словах, чем на деле.

Суть его в том, что определитель записывается как сумма произведений элементов первой или любой другой строчки и соответствующих им определителей размером 2 на 2.

Определитель для каждого произведения состоит из элементов, записанных без элементов той строчки и столбца, в которых стоит единичный элемент-множитель.

Также можно осуществлять разложение не только по первой строчке, но и по любой другой или даже столбцу.

Чтобы определить знак, который записывается перед очередным произведением, необходимо помнить, что знаки при элементах чередуются, у первого элемента первой строки — плюс.

То есть произведение при первом элементе первой строчки будет записываться положительным.

Пример 1

Вычислите определитель для $M$ разложением по любой строчке:

$M = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 5 \\ 7 & -4 & 3 \\ -5 & 0 & 10 \\ \end{pmatrix}$

Решение:

Пример матрицы 3х3. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 1. Пример матрицы 3х3. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

В последней строчке присутствует нуль, поэтому удобно будет сделать разложение именно по ней:

$Δ= (-5) \cdot \begin{array}{|cc|} 2 & 5 \\ -4 & 3 \\ \end{array} – 0 \cdot \begin{array} {|cc|} - 1 & 5 \\ 7 & 3 \\ \end{array} + 10 \cdot \begin{array}{|cc|} -1 & 2 \\ 7 & -4 \\ \end{array} = ( - 5 \cdot (6 + 20) – 0 + 10 \cdot (4 – 14) = (-5) \cdot 26 – 0 – 100 = -230$.

Способ «по-французски»: правило Саррюса

Самый легко запоминаемый способ.

Первые два столбика матрицы переписываются рядом справа с исходной матрицей, а дальше рассматриваются левые и правые образуемые диагонали.

Тройки произведений чисел с розовых диагоналей записываются с плюсом, а с синих – с минусом.

Как посчитать матрицу 3 на 3. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 2. Как посчитать матрицу 3 на 3. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пример 2

Посчитайте определитель $М$ этим методом.

Решение:

$Δ = (-1) \cdot (-4) \cdot 10 + 2 \cdot 3 \cdot (-5) + 5 \cdot 7 \cdot 0 – 2 \cdot 7 \cdot 10 - (-1) \cdot 3 \cdot 0 – 5 \cdot (-4) \cdot (-5) = 40 – 30 + 0 -140 – 0 – 100 = 230$.

Мнемоническое правило с треугольниками

Несколько более сложный способ для запоминания в отличие от предыдущего.

Суть его в том, что произведения троек значений с главной диагонали и с двух треугольников, одна из сторон для каждого параллельна главной диагонали, записываются с плюсом, а с минусом записываются те произведения, что на побочной диагонали и двух треугольниках с параллельными ей сторонами (смотрите рисунок).

Как найти детерминант матрицы 3 на 3. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 3. Как найти детерминант матрицы 3 на 3. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Приведение матричной таблицы к треугольной

В этом методе нужно получить матрицу, элементы которой сверху или снизу от главной диагонали равны нулю.

Пример 3

Найти определитель для М с помощью получения треугольной матрицы.

Решение:

Вспомним свойство определителя: из любой строки или столбца можно вынести общий для этой строчки или столбца множитель.

Поэтому:

$\begin{array} {|ccc|} -1 & 2 & 5 \\ 7 & -4 & 3 \\ -5 & 0 & 10 \\ \end{array} = \begin{array} {|ccc|} -1 & 2 & 5 \\ 7 & -4 & 3 \\ -1 \cdot 5 & 0 \cdot 5 & 2 \cdot 5 \\ \end{array}= 5 \cdot \begin{array} {|ccc|} -1 & 2 & 5 \\ 7 & -4 & 3 \\ -1 & 0 & 2 \\ \end{array} = 5 \cdot \begin{array} {|ccc|} -1 & 1 \cdot 2 & 5 \\ 7 & -2 \cdot 2 & 3 \\ -1 & 0 \cdot 2 & 2 \\ \end{array}= 10 \cdot \begin{array} {|ccc|} -1 & 1 & 5 \\ 7 & -2 & 3 \\ -1 & 0 & 2 \\ \end{array}$.

Теперь преобразуем полученную таблицу, для этого начинаем приводить к нулям элементы крайнего левого столбца. Строчки для удобства будем записывать как (n), где n — это номер строчки.

1) (2) $\cdot \frac17$ + (3), результат запишем в третьей строчке:

$ \begin{array} {|ccc|} -1 & 1 & 5 \\ 7 & -2 & 3 \\ 0 & -\frac27 & \frac{17}{7} \\ \end{array}$ ;

2) (1) $ \cdot 7$ + (2), полученное запишем во второй строчке:

$ \begin{array} {|ccc|} -1 & 1 & 5 \\ 0 & 5 & 38 \\ 0 & -\frac27 & \frac{17}{7} \\ \end{array}$ ;

3) (2) $\cdot \frac{2}{35}$ + (3)$, пишем в 3-ью:, пишем в 3-ью:

$ \begin{array} {|ccc|} -1 & 1 & 5 \\ 0 & 5 & 38 \\ 0 & 0 & \frac{23}{5} \\ \end{array}$ ;

Получили матрицу нужного типа. Посчитаем $D$:

$Δ = 10 \cdot (-1) \cdot 5 \cdot \frac{23}{5} = -230$.

Во время использования данного способа внимательно следите за знаками, а также за порядком вычислений.

Теперь вы умеете решать определители матриц наиболее распространёнными способами.