Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Найти определитель матрицы методом Гаусса

Все предметы / Математика / Метод Гаусса / Найти определитель матрицы методом Гаусса

Определитель матрицы – это число, являющееся её параметром-характеристикой. Через определитель выполняются многие действия, связанные с матрицами, например, поиск неизвестных из систем уравнений и не только.

В этой статье рассказано про получение определителя методом Гаусса, также иногда такой способ называют понижением порядка определителя. Помимо приведённого здесь способа также детерминант можно сосчитать через миноры или используя правила Саррюса и треугольников.

Свойства определителя квадратной матрицы

  1. Определитель транспонированной матрицы $A^T$ равен определителю матрицы $A$: $|A^T| = |A|$
  2. Определитель квадратной матрицы с нулевой строчкой или столбцом равен нулю.
  3. Перемещая какие-то строчки или столбцы матрицы на места друг друга, знак определителя изменится на противоположный.
  4. Наличие одинаковых строчек, или таких строчек, которые станут одинаковыми после вынесения коэффициента, делают её определитель нулевым.
  5. При умножении членов какой-то матричной строчки или столбца $A$ на некий коэффициент $k$, определитель новой полученной матрицы является определителем произведения $A$ и $k$.
  6. При сложении членов матрицы $A$, находящихся на одной строчке (или в одном столбце) с элементами другой её строчки или столбца, помноженными на некое число $k$, не равное нулю, определитель полученной матрицы будет иметь то же значение, что и определитель матрицы $A$.
  7. Определитель некой матрицы $A$ равен сумме произведений членов какой-либо строчки или столбца на её алгебраические дополнения.

Алгоритм для подсчёта детерминанта методом Гаусса

Чтобы найти определитель матрицы методом Гаусса, необходимо:

  1. Привести матрицу к верхнетреугольной или нижнетреугольной форме используя разрешённые над матрицей преобразования, называемые также элементарными.
  2. Сосчитать произведение всех членов матрицы, принадлежащих главной матричной диагонали полученной треугольной матрицы (эта диагональ проходит слева-направо сверху-вниз). При осуществлении подсчётов для вычисления определителя матрицы методом Гаусса нужно помнить, что при перестановке строчек или столбцов необходимо поменять знак детерминанта в конце решения на противоположный.
Замечание 1

Важно: не следует умножать или делить отдельные строчки матрицы на какие-либо числа во время процесса вычисления, так как это изменит итоговое значение. В случае же если всё же домножили строчку матрицы на какой-либо коэффициент, не забудьте вынести его обратное значение как множитель перед матрицей и домножить на это число итоговый ответ.

Готовые работы на аналогичную тему

Пример 1

Найти определитель матрицы методом Гаусса.

$A = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 &2 \\ 3 & 4 & 5 \\ 1 & 1 & 3 \\ \end{array} \right)$

Переставляем верхнюю и третью строчки и выносим знак минус после перестановки:

$A = - \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 &2 \\ 3 & 4 & 5 \\ 0 & 1 &2 \end{array} \right)$

Затем умножаем первую строчку на $3$ и вычитаю из второй:

$A = - \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 3 \\ 0& 1 & -4 \\ 0 & 1 &2 \\ \end{array} \right)$

Вычитаем из третьей строчки вторую:

$A = - \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 3 \\ 0& 1 & -4 \\ 0 & 0 &6 \\ \end{array} \right)$

Полученная матрица является нижнетреугольной, следовательно, теперь можно сосчитать её детерминант:

$det(A) = - ( 1 \cdot 1 \cdot 6) = -6$

Пример 2

Примените метод Гаусса для вычисления определителя матрицы 4 порядка:

$A = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 0 & 2 & 3 \\ 3 & 5 & 1 & 0 \\ 4 & 1 & 0 & 0 \\ \end{array} \right)$

Сделаем перестановку крайнего столбца с последним и третьего столбец со вторым. Это не изменит знак конечного значения определителя, так как смена позиций применяется дважды:

$A = \left( \begin{array}{cccc} 4 & 3 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \\ \end{array} \right)$

Вычитаю из первой строчки вторую:

$A = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 2 & -1 \\ 3 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \\ \end{array} \right)$

Складываю умноженную на $3$ верхнюю строчку со второй:

$A = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & -6 & 5 \\ 0 & 1 & 5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \\ \end{array} \right)$

Прибавляю к предпоследней строке вторую:

$A = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & -6 & 5 \\ 0 & 0 & -1 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \\ \end{array} \right)$

Прибавляю к нижней строчке предпоследнюю:

$A = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & -6 & 5 \\ 0 & 0 & -1 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 12 \\ \end{array} \right)$

Матрица стала треугольной, теперь найдём её детерминант:

$det(A) = 1 \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot 12 = 12$.

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Елена Борисовна Калюжная

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис