Определение функции
y=f(x) называется функцией, если для любого значения x из множества D (D∈R) каким-либо образом определен единственный элемент y из множества E (E∈R).
В этом определении множество D называется областью определения функции, а множество E - областью значения функции.
x -- независимая переменная.
y - зависимая переменная (значение функции).
Способы задания функции
Существуют три основных способа задания функции: аналитический, табличный и графический. Рассмотрим подробнее каждый из этих способов.
Аналитический способ
Здесь для начала введем понятие аналитического выражения.
Аналитическое выражение -- совокупность известных математических операций, которые производятся в определенно последовательности над числами и переменными величинами.
В основу аналитического способа здания функции лежит задание функции с помощью аналитического выражения.
Примеры: y=x2+5x+3, y=x+1x+2, y=cos2x.
Преимущества:
- Формулы определяют значение функции для любого значения независимой переменной;
- Возможность при изучении функции пользоваться аппаратом математического анализа.
Недостатки:
- Недостаточная наглядность.
- Необходимость производить подчас очень громоздкие вычисления.
Табличный способ
При табличном задании функции просто выписывается ряд значений независимой переменной и соответствующие им значения функции.
Пример:
Преимущество:
Для каждого значения независимой переменной, входящей в таблицу, сразу можно найти соответствующее значение функции.
Недостатки:
- При нем, чаще всего, невозможно задать функцию полностью;
- Недостаточная наглядность.
Графический способ
Введем определение графика функции:
График функции f(x) называется множество всех точек декартовой координатной плоскости вида (x, f(x)), где x∈D.
Задание графика функции называется графическим способом задания функции f(x).
Пример: рис. 1.
Рис. 1. График функции y=f(x).
Схема для построения графика функции
- Область определения D(f) и область значения E(f).
- Четность (f(x)=f(−x)), нечетность (f(x)=−f(x)), периодичность (f(x)=f(x+T)).
- Точки пересечения с осями координат и промежутки, где f(x)>0 и $f\left(x\right)
- Исследовать на возрастание (f′(x)>0), убывание ${(f}'\left(x\right)
- Исследовать на точки перегиба и интервалы выпуклости (f″(x)>0), вогнутости ($f^{''}\left(x\right)
- Вычислить пределы на границах области определения.
- Значения в дополнительных точках.
- График.
Правила построения графиков
- y=f(x−a) получается из графика f(x) сдвигом вдоль оси Ox на |a| вправо, если a>0 и влево, если $a
- y=f(x)+b получается из графика f(x) сдвигом вдоль оси Oy на |b| вверх, если b>0 и вниз, если $\ b
- y=f(kx) получается из графика f(x) сжатием к оси Oy, если k>1 и растяжением, если $0
- y=kf(x) получается из графика f(x) растяжением от оси Ox в k раз, если k>1 и сжатием к оси Ox в 1k раз, если $0
- y=f(−x) получается из графика f(x) симметричным отображением относительно оси Oy.
- y=−f(x) получается из графика f(x) симметричным отображением относительно оси Ox.
- y=|f(x)| получается из графика f(x) следующим образом: часть графика f(x),лежащая над осью Ox остается неизменна, а лежащая под Ox отображается симметрично относительно оси Oy.
- y=f(|x|) получается из графика f(x) следующим образом: часть графика f(x),лежащая справа от оси Oy остается неизменна, а затем эта часть отображается симметрично относительно оси Oy, заменяя часть, лежащую слева от Oy.
Пример исследования и построения функции
Исследовать функцию и построить её график:
y=5x2+x+1x- Область определения: (−∞,0)(0,∞). Область значения:(−∞,1−2√5][1+2√5,∞)
- функция ни четна, ни нечетна, непериодическая.
- Точек пересечения с осями координат нет.
- y′=10x2+x−5x2−x−1x2=5x2−1x2 5x2−1x2=0
- y″=10x3−10x3+2xx4=2x3 2x3=0
- limx→0−0y =−∞, limx→0+0y =+∞, limx→−∞y =−∞, limx→+∞y =+∞
При x∈(−∞,0) функция отрицательна, при x∈(0,∞) функция положительна.
Методом интервалов получаем, что
Функция возрастает при x∈(−∞,−√55)(√55,∞) и убывает при x∈(−√55,0)(0,√55)
Максимум функции: (−√55,1−2√5)
Минимум функции: (√66,1+2√5)
Методом интервалов получаем, что функция выпукла при x∈(0,∞) и вогнута при x∈(−∞,0)