Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Функции и их графики

Определение функции

Определение 1

y=f(x) называется функцией, если для любого значения x из множества D (DR) каким-либо образом определен единственный элемент y из множества E (ER).

В этом определении множество D называется областью определения функции, а множество E - областью значения функции.

x -- независимая переменная.

y - зависимая переменная (значение функции).

Способы задания функции

Существуют три основных способа задания функции: аналитический, табличный и графический. Рассмотрим подробнее каждый из этих способов.

Аналитический способ

Здесь для начала введем понятие аналитического выражения.

Определение 2

Аналитическое выражение -- совокупность известных математических операций, которые производятся в определенно последовательности над числами и переменными величинами.

В основу аналитического способа здания функции лежит задание функции с помощью аналитического выражения.

Примеры: y=x2+5x+3, y=x+1x+2, y=cos2x.

Преимущества:

  1. Формулы определяют значение функции для любого значения независимой переменной;
  2. Возможность при изучении функции пользоваться аппаратом математического анализа.

Недостатки:

  1. Недостаточная наглядность.
  2. Необходимость производить подчас очень громоздкие вычисления.

Табличный способ

При табличном задании функции просто выписывается ряд значений независимой переменной и соответствующие им значения функции.

Пример:

Функции и их графики

Преимущество:

Для каждого значения независимой переменной, входящей в таблицу, сразу можно найти соответствующее значение функции.

Недостатки:

  1. При нем, чаще всего, невозможно задать функцию полностью;
  2. Недостаточная наглядность.

Графический способ

Введем определение графика функции:

Определение 3

График функции f(x) называется множество всех точек декартовой координатной плоскости вида (x, f(x)), где xD.

«Функции и их графики» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Найти

Задание графика функции называется графическим способом задания функции f(x).

Пример: рис. 1.

Функции и их графики

Рис. 1. График функции y=f(x).

Схема для построения графика функции

  1. Область определения D(f) и область значения E(f).
  2. Четность (f(x)=f(x)), нечетность (f(x)=f(x)), периодичность (f(x)=f(x+T)).
  3. Точки пересечения с осями координат и промежутки, где f(x)>0 и $f\left(x\right)
  4. Исследовать на возрастание (f(x)>0), убывание ${(f}'\left(x\right)
  5. Исследовать на точки перегиба и интервалы выпуклости (f(x)>0), вогнутости ($f^{''}\left(x\right)
  6. Вычислить пределы на границах области определения.
  7. Значения в дополнительных точках.
  8. График.

Правила построения графиков

  1. y=f(xa) получается из графика f(x) сдвигом вдоль оси Ox на |a| вправо, если a>0 и влево, если $a
  2. y=f(x)+b получается из графика f(x) сдвигом вдоль оси Oy на |b| вверх, если b>0 и вниз, если $\ b
  3. y=f(kx) получается из графика f(x) сжатием к оси Oy, если k>1 и растяжением, если $0
  4. y=kf(x) получается из графика f(x) растяжением от оси Ox в k раз, если k>1 и сжатием к оси Ox в 1k раз, если $0
  5. y=f(x) получается из графика f(x) симметричным отображением относительно оси Oy.
  6. y=f(x) получается из графика f(x) симметричным отображением относительно оси Ox.
  7. y=|f(x)| получается из графика f(x) следующим образом: часть графика f(x),лежащая над осью Ox остается неизменна, а лежащая под Ox отображается симметрично относительно оси Oy.
  8. y=f(|x|) получается из графика f(x) следующим образом: часть графика f(x),лежащая справа от оси Oy остается неизменна, а затем эта часть отображается симметрично относительно оси Oy, заменяя часть, лежащую слева от Oy.

Пример исследования и построения функции

Задача

Исследовать функцию и построить её график:

y=5x2+x+1x
  1. Область определения: (,0)(0,). Область значения:(,125][1+25,)
  2. функция ни четна, ни нечетна, непериодическая.
  3. Точек пересечения с осями координат нет.
  4. При x(,0) функция отрицательна, при x(0,) функция положительна.

  5. y=10x2+x5x2x1x2=5x21x2
  6. 5x21x2=0
    x0, x=±55

    Методом интервалов получаем, что

    Функция возрастает при x(,55)(55,) и убывает при x(55,0)(0,55)

    Максимум функции: (55,125)

    Минимум функции: (66,1+25)

  7. y=10x310x3+2xx4=2x3
  8. 2x3=0
    x0

    Методом интервалов получаем, что функция выпукла при x(0,) и вогнута при x(,0)

  9. limx00y =, limx0+0y =+, limxy =, limx+y =+
  10. Функции и их графики

Дата последнего обновления статьи: 02.02.2025
Получи помощь с рефератом от ИИ-шки
ИИ ответит за 2 минуты
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Функции и их графики"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant