Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Синус, косинус, тангенс, котангенс угла

Понятие синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника

Будем измерять величины углов в радианах. Поворот координатной плоскости вокруг начала координат на угол α радиан будем обозначать символом Rα.

Через Pα будем обозначать точку единичной окружности x2+y2=1 которая получается из точки P0 с координатами (1,0) путем поворота плоскости вокруг начала координат на угол α.

Рассмотрим в Декартовой системе координат окружность с радиусом R>0 и центром (0,0) (рис. 1).

Окружность радиуса $R >0$.

Рисунок 1. Окружность радиуса R>0.

[OB] получается из [OA]=R путем поворота на угол α радиан. Пусть x и y абсцисса и ордината точки B, соответственно, тогда

Так как в определениях синуса и косинуса их значения не зависят от радиуса окружности, то можно принять R=1. Поэтому, другим способом, тригонометрические значения определяются следующим образом:

Определение 1

Синусом острого угла называется ордината единичной окружности, которая получается из точки (1, 0) путем поворота на угол α радиан.

Определение 2

Косинусом острого угла называется абсцисса единичной окружности, которая получается из точки (1, 0) путем поворота на угол α радиан.

Определение 3

Тангенсом угла называется отношение значения синуса этого угла к значению косинуса этого угла.

«Синус, косинус, тангенс, котангенс угла» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Помощь с рефератом от нейросети
Написать ИИ
Определение 4

Котангенсом угла называется отношение значения косинуса этого угла к значению синуса этого угла.

Основное тригонометрическое тождество

Определение 5

Проверим следующее тождество:

sin2A+cos2A=1

Для этого будем рассматривать прямоугольный треугольник ABC c прямым углом C (рис. 2).



Рисунок 2.

Из него получим

(BCAB)2+(ACAB)2=BC2+AC2AB2

Из теоремы Пифагора мы знаем, что BC2+AC2=AB2, следовательно

sin2A+cos2A=BC2+AC2AB2=AB2AB2=1

Это тождество называется основным тригонометрическим тождеством.

Основные значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника

Вычислим значения для углов в 30, 45 и 60. Для этого вспомним следующую теорему.

Теорема 1

Катет, лежащий напротив угла в 30, равняется половине гипотенузы прямоугольного треугольника.

Пусть для начала у нас A=30. Так как треугольник прямоугольный, то B=60.

По теореме 1, имеем AB=2BC.

Используя основное тригонометрическое тождество (5), получим:

Теперь нетрудно найти тангенсы и котангенсы этих углов.

Пусть теперь A=45. Тогда B=45, то есть прямоугольный треугольник -- равнобедренный. По теореме Пифагора BC2+AC2=AB2, следовательно, AB2=2BC2=2AC2, то есть

Тогда

Сведем все полученные данные в таблицу (таблица 1).



Рисунок 3.

Пример задачи

Пример 1

Найти все тригонометрические значения угла A, еслиAB=25, BC=20, AC=15.

Решение.

Все решение задачи будем производить с помощью прямоугольного треугольника (рис. 2).

sinA=BCAB=2025=0,8
cosA=ACAB=1525=0,6
tgA=BCAC=2015=113
ctgA=ACBC=1520=0,75
Дата последнего обновления статьи: 11.04.2024
Получи помощь с рефератом от ИИ-шки
ИИ ответит за 2 минуты
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Синус, косинус, тангенс, котангенс угла"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant