Понятие синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника
Будем измерять величины углов в радианах. Поворот координатной плоскости вокруг начала координат на угол α радиан будем обозначать символом Rα.
Через Pα будем обозначать точку единичной окружности x2+y2=1 которая получается из точки P0 с координатами (1,0) путем поворота плоскости вокруг начала координат на угол α.
Рассмотрим в Декартовой системе координат окружность с радиусом R>0 и центром (0,0) (рис. 1).
Рисунок 1. Окружность радиуса R>0.
[OB] получается из [OA]=R путем поворота на угол α радиан. Пусть x и y абсцисса и ордината точки B, соответственно, тогда
Так как в определениях синуса и косинуса их значения не зависят от радиуса окружности, то можно принять R=1. Поэтому, другим способом, тригонометрические значения определяются следующим образом:
Синусом острого угла называется ордината единичной окружности, которая получается из точки (1, 0) путем поворота на угол α радиан.
Косинусом острого угла называется абсцисса единичной окружности, которая получается из точки (1, 0) путем поворота на угол α радиан.
Тангенсом угла называется отношение значения синуса этого угла к значению косинуса этого угла.
Котангенсом угла называется отношение значения косинуса этого угла к значению синуса этого угла.
Основное тригонометрическое тождество
Проверим следующее тождество:
sin2A+cos2A=1Для этого будем рассматривать прямоугольный треугольник ABC c прямым углом C (рис. 2).
Рисунок 2.
Из него получим
(BCAB)2+(ACAB)2=BC2+AC2AB2Из теоремы Пифагора мы знаем, что BC2+AC2=AB2, следовательно
sin2A+cos2A=BC2+AC2AB2=AB2AB2=1Это тождество называется основным тригонометрическим тождеством.
Основные значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника
Вычислим значения для углов в 30∘, 45∘ и 60∘. Для этого вспомним следующую теорему.
Катет, лежащий напротив угла в 30∘, равняется половине гипотенузы прямоугольного треугольника.
Пусть для начала у нас ∠A=30∘. Так как треугольник прямоугольный, то ∠B=60∘.
По теореме 1, имеем AB=2BC.
Используя основное тригонометрическое тождество (5), получим:
Теперь нетрудно найти тангенсы и котангенсы этих углов.
Пусть теперь ∠A=45∘. Тогда ∠B=45∘, то есть прямоугольный треугольник -- равнобедренный. По теореме Пифагора BC2+AC2=AB2, следовательно, AB2=2BC2=2AC2, то есть
Тогда
Сведем все полученные данные в таблицу (таблица 1).
Рисунок 3.
Пример задачи
Найти все тригонометрические значения угла A, еслиAB=25, BC=20, AC=15.
Решение.
Все решение задачи будем производить с помощью прямоугольного треугольника (рис. 2).
sinA=BCAB=2025=0,8