Синус, косинус, тангенс, котангенс угла

Понятие синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника

Будем измерять величины углов в радианах. Поворот координатной плоскости вокруг начала координат на угол $\alpha$ радиан будем обозначать символом $R^{\alpha }$.

Через $P_{\alpha }$ будем обозначать точку единичной окружности $x^2+y^2=1$ которая получается из точки $P_0$ с координатами $(1,0)$ путем поворота плоскости вокруг начала координат на угол $\alpha$.

Рассмотрим в Декартовой системе координат окружность с радиусом $R >0$ и центром $(0,0)$ (рис. 1).

Рисунок 1. Окружность радиуса $R >0$.

$\left[OB\right]$ получается из $\left[OA\right]=R$ путем поворота на угол $\alpha$ радиан. Пусть $x$ и $y$ абсцисса и ордината точки $B$, соответственно, тогда

Так как в определениях синуса и косинуса их значения не зависят от радиуса окружности, то можно принять $R=1$. Поэтому, другим способом, тригонометрические значения определяются следующим образом:

Основное тригонометрическое тождество

Основные значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника

Вычислим значения для углов в ${30}^{{}^\circ },\ {45}^{{}^\circ }$ и ${60}^{{}^\circ }$. Для этого вспомним следующую теорему.

Пусть для начала у нас $\angle A={30}^{{}^\circ }$. Так как треугольник прямоугольный, то $\angle B={60}^{{}^\circ }$.

По теореме 1, имеем $AB=2BC$.

Используя основное тригонометрическое тождество (5), получим:

Теперь нетрудно найти тангенсы и котангенсы этих углов.

Пусть теперь $\angle A={45}^{{}^\circ }$. Тогда $\angle B={45}^{{}^\circ }$, то есть прямоугольный треугольник -- равнобедренный. По теореме Пифагора ${BC}^2+{AC}^2={AB}^2$, следовательно, ${AB}^2={2BC}^2=2{AC}^2$, то есть

Тогда

Сведем все полученные данные в таблицу (таблица 1).

Рисунок 3.

Пример задачи