Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Тетраэдр и параллелепипед

Задача 1

Для трех ребер OA, OB и OC параллелепипеда с общей вершиной O заданы координаты соответствующих вершин O(7,2,2), A(8,9,1), B(3,5,3) и C(6,3,8). Найти углы в основании параллелепипеда, считая, что его образует параллелограмм, построенный на ребрах OA и OB. Найти площадь основания параллелепипеда. Найти объем параллелепипеда.

Призмою называют многогранник, две грани которого -- основания -- являются одинаковыми многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а другие грани -- боковые -- являются параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками. Параллелепипедом называется призма, основаниями которой являются параллелограммы.

Пусть начало пространственного вектора ¯AB находится в точке A(xa,ya,za), а конец -- в точке B(xb,yb,zb). Алгебраически этот вектор записывают так: ¯AB=(xbxa)¯i+(ybya)¯j+(zbza)¯k.

Используем эту формулу для представления каждого из ребер в виде вектора, имеющего начало в точке O. Используем для них обозначения: ˉa=¯OA, ˉb=¯OB и ˉc=¯OC. Алгебраическая запись этих векторов:

ˉa=(87)ˉi+(92)ˉj+(12)ˉk или ˉa=ˉi+7ˉjˉk;

ˉb=(37)ˉi+(52)ˉj+(32)ˉk или ˉb=4ˉi+3ˉj+ˉk;

ˉc=(67)ˉi+(32)ˉj+(82)ˉk или ˉc=ˉi+ˉj+6ˉk.

Находим угол между векторами ¯a и ¯b в основании параллелепипеда. Для этого сначала вычислим скалярное произведение этих векторов.

Известно, что скалярное произведение ¯a¯b двух векторов ¯a=x1¯i+y1¯j+z1¯k и ¯b=x2¯i+y2¯j+z2¯k вычисляется по формуле ¯a¯b=x1x2+y1y2+z1z2 или по формуле ¯a¯b=|¯a||¯b|cosϕ, где ϕ -- угол между векторами.

В нашем случае имеем:

¯a¯b=x1x2+y1y2+z1z2=1(4)+73+(1)1=4+211=16.

Теперь вычисляем длины этих векторов. Для этого используем следующую формулу: |¯AB|=(xbxa)2+(ybya)2+(zbza)2.

Получаем:

|ˉa|=12+72+(1)2=1+49+1=517,1414;
|ˉb|=(4)2+32+12=16+9+1=265,0990.

Теперь можем вычислить косинус угла между векторами ¯a и ¯b:

cosϕ=ˉaˉb|ˉa||ˉb|=167,14145,09900,44.

Отсюда получаем значение угла между векторами ¯a и ¯b в основании параллелепипеда: ϕ=1,12радиан=64. Смежный угол ϕ1=18064=116.

Вычисляем площадь основания параллелепипеда. При этом известно, что если сторонами параллелограмма являются два неколлинеарных вектора, приведенные к общему началу, то площадь параллелограмма равна длине их векторного произведения.

Известно также, что векторное произведение ¯v=¯aׯb двух векторов ¯a и ¯b вычисляется по формуле ¯v=|¯i¯j¯kx1y1z1x2y2z2|.

Находим векторное произведение векторов ˉa=ˉi+7ˉjˉk и ˉb=4ˉi+3ˉj+ˉk: ¯v=|¯i¯j¯k171431|=10ˉi+3ˉj+31ˉk.

Теперь находим площадь основания параллелепипеда как длину векторного произведения: S=|¯v|=102+32+312=32,7109 кв.од.

Находим объем параллелепипеда. При этом известно, что если ребрами параллелепипеда являются три некомпланарных вектора, приведенные к общему началу, то объем параллелепипеда равен модулю их смешанного произведения.

Известно также, что смешанное произведение трех векторов ¯a=x1¯i+y1¯j+z1¯k, ¯b=x2¯i+y2¯j+z2¯k и ¯c=x3¯i+y3¯j+z3¯k вычисляется по формуле (¯aׯb)¯c=|x1y1z1x2y2z2x3y3z3|.

Находим смешанное произведение векторов ˉa=ˉi+7ˉjˉk, ˉb=4ˉi+3ˉj+ˉk и ˉc=ˉi+ˉj+6ˉk:

(¯aׯb)¯c=|171431116|==1177(23)+(1)(1)=17+161+1=179.

Получаем объем параллелепипеда: V=|179|=179 куб.од.

Задача 2

Вершины M, N, K при основании тетраэдра отсекают на координатных осях Ox, Oy и Oz отрезки m=50, n=60 и k=120 соответственно. Еще одна вершина тетраэдра находится в точке L(a,b,c), где a=150, b=80, c=60. Найти угол между основанием тетраэдра MNK и его боковой гранью MNL. Найти длину высоты тетраэдра, опущенной из вершины L на основание MNK.

Уравнение xm+yn+zk=1, где m, n и k -- отрезки, которые плоскость отсекает на координатных осях Ox, Oy и Oz соответственно, называется уравнением плоскости в отрезках.

Записываем уравнение основания тетраэдра MNK: x50+y60+z120=1.

После преобразований получаем общее уравнение основания тетраэдра: 12x+10y+5z600=0.

Уравнение, имеющее вид |xx1yy1zz1x2x1y2y1z2z1x3x1y3y1z3z1|=0, является уравнением плоскости, проходящей через три точки M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2) и M3(x3,y3,z3).

С помощью этого уравнения можем найти общее уравнение грани MNL, проходящей через точки M(50,0,0), N(0,60,0) и L(150,80,60):

|x50y0z00506000015050800600|=0 или |x50yz506001008060|=0.

После раскрытия определителя получаем общее уравнение боковой грани MNL: 18x+15y+50z900=0.

Чтобы найти угол между плоскостями A1x+B1y+C1z+D1=0 и A2x+B2y+C2z+D2=0, следует сначала вычислить косинус этого угла по формуле cosϕ=A1A2+B1B2+C1C2A21+B21+C21A22+B22+C22, а потом найти и сам угол по формуле ϕ=arccos(cosϕ). Если значение cosϕ>0, то получен острый угол между плоскостями, если $\cos \phi

Находим угол между основанием тетраэдра MNK и его гранью MNL, используя их общие уравнения:

cosϕ=1218+1015+550122+102+52182+152+5020,6802;
ϕ=arccos(0,6802)=0,8228радиан=47,1;

смежный угол ϕ1=18047,1=132,9.

Для определения высоты тетраэдра сначала построим нормальное уравнение основания тетраэдра.

Для приведения общего уравнения плоскости Ax+By+Cz+D=0 к нормальному виду его нужно умножить на нормирующий множитель μ=±1A2+B2+C2. Знак в формуле выбирается противоположным знаку свободного члена D.

Для общего уравнения основания тетраэдра 12x+10y+5z600=0 имеем нормирующий множитель: μ=+1122+102+520,06097.

После умножения на нормирующий множитель получаем нормальное уравнение: 0,7316x+0,6097y+0,3049z36,582=0.

Вычисляем отклонение точки L(150,80,60) от основания тетраэдра:

δ=1500,7316+800,6097+600,304936,582=140,228.

Поскольку отклонение положительно, то точка L и начало координат расположены по разные стороны от основания тетраэдра.

Высота тетраэдра: d=|140,228|=140,228 лин.ед.

Дата последнего обновления статьи: 21.01.2025
Получи помощь с рефератом от ИИ-шки
ИИ ответит за 2 минуты
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Тетраэдр и параллелепипед"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant