Для трех ребер $OA$, $OB$ и $OC$ параллелепипеда с общей вершиной $O$ заданы координаты соответствующих вершин $O\left(7,2,2\right)$, $A\left(8,9,1\right)$, $B\left(3,5,3\right)$ и $C\left(6,3,8\right)$. Найти углы в основании параллелепипеда, считая, что его образует параллелограмм, построенный на ребрах $OA$ и $OB$. Найти площадь основания параллелепипеда. Найти объем параллелепипеда.
Призмою называют многогранник, две грани которого -- основания -- являются одинаковыми многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а другие грани -- боковые -- являются параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками. Параллелепипедом называется призма, основаниями которой являются параллелограммы.
Пусть начало пространственного вектора $\overline{AB}$ находится в точке $A\left(x_{a} ,\; y_{a} ,z_{a} \right)$, а конец -- в точке $B\left(x_{b} ,\; y_{b} ,z_{b} \right)$. Алгебраически этот вектор записывают так: $\overline{AB}=\left(x_{b} -x_{a} \right)\cdot \overline{i}+\left(y_{b} -y_{a} \right)\cdot \overline{j}+\left(z_{b} -z_{a} \right)\cdot \overline{k}$.
Используем эту формулу для представления каждого из ребер в виде вектора, имеющего начало в точке $O$. Используем для них обозначения: $\bar{a}=\overline{OA}$, $\bar{b}=\overline{OB}$ и $\bar{c}=\overline{OC}$. Алгебраическая запись этих векторов:
$\bar{a}=\left(8-7\right)\cdot \bar{i}+\left(9-2\right)\cdot \bar{j}+\left(1-2\right)\cdot \bar{k}$ или $\bar{a}=\bar{i}+7\cdot \bar{j}-\bar{k}$;
$\bar{b}=\left(3-7\right)\cdot \bar{i}+\left(5-2\right)\cdot \bar{j}+\left(3-2\right)\cdot \bar{k}$ или $\bar{b}=-4\cdot \bar{i}+3\cdot \bar{j}+\bar{k}$;
$\bar{c}=\left(6-7\right)\cdot \bar{i}+\left(3-2\right)\cdot \bar{j}+\left(8-2\right)\cdot \bar{k}$ или $\bar{c}=-\bar{i}+\bar{j}+6\cdot \bar{k}$.
Находим угол между векторами $\overline{a}$ и $\overline{b}$ в основании параллелепипеда. Для этого сначала вычислим скалярное произведение этих векторов.
Известно, что скалярное произведение $\overline{a}\cdot \overline{b}$ двух векторов $\overline{a}=x_{1} \cdot \overline{i}+y_{1} \cdot \overline{j}+z_{1} \cdot \overline{k}$ и $\overline{b}=x_{2} \cdot \overline{i}+y_{2} \cdot \overline{j}+z_{2} \cdot \overline{k}$ вычисляется по формуле $\overline{a}\cdot \overline{b}=x_{1} \cdot x_{2} +y_{1} \cdot y_{2} +z_{1} \cdot z_{2} $ или по формуле $\overline{a}\cdot \overline{b}=\left|\overline{a}\right|\cdot \left|\overline{b}\right|\cdot \cos \phi $, где $\phi $ -- угол между векторами.
В нашем случае имеем:
\[\overline{a}\cdot \overline{b}=x_{1} \cdot x_{2} +y_{1} \cdot y_{2} +z_{1} \cdot z_{2} =1\cdot \left(-4\right)+7\cdot 3+\left(-1\right)\cdot 1=-4+21-1=16.\]Теперь вычисляем длины этих векторов. Для этого используем следующую формулу: $\left|\overline{AB}\right|=\sqrt{\left(x_{b} -x_{a} \right)^{2} +\left(y_{b} -y_{a} \right)^{2} +\left(z_{b} -z_{a} \right)^{2} } $.
Получаем:
\[\left|\bar{a}\right|=\sqrt{1^{2} +7^{2} +\left(-1\right)^{2} } =\sqrt{1+49+1} =\sqrt{51} \approx 7,1414;\] \[\left|\bar{b}\right|=\sqrt{\left(-4\right)^{2} +3^{2} +1^{2} } =\sqrt{16+9+1} =\sqrt{26} \approx 5,0990.\]Теперь можем вычислить косинус угла между векторами $\overline{a}$ и $\overline{b}$:
\[\cos \phi =\frac{\bar{a}\cdot \bar{b}}{\left|\bar{a}\right|\cdot \left|\bar{b}\right|} =\frac{16}{7,1414\cdot 5,0990} \approx 0,44.\]Отсюда получаем значение угла между векторами $\overline{a}$ и $\overline{b}$ в основании параллелепипеда: $\phi =1,12\; радиан=64{}^\circ $. Смежный угол $\phi _{1} =180-64=116{}^\circ $.
Вычисляем площадь основания параллелепипеда. При этом известно, что если сторонами параллелограмма являются два неколлинеарных вектора, приведенные к общему началу, то площадь параллелограмма равна длине их векторного произведения.
Известно также, что векторное произведение $\overline{v}=\overline{a}\times \overline{b}$ двух векторов $\overline{a}$ и $\overline{b}$ вычисляется по формуле $\overline{v}=\left|\begin{array}{ccc} {\overline{i}} & {\overline{j}} & {\overline{k}} \\ {x_{1} } & {y_{1} } & {z_{1} } \\ {x_{2} } & {y_{2} } & {z_{2} } \end{array}\right|$.
Находим векторное произведение векторов $\bar{a}=\bar{i}+7\cdot \bar{j}-\bar{k}$ и $\bar{b}=-4\cdot \bar{i}+3\cdot \bar{j}+\bar{k}$: $\overline{v}=\left|\begin{array}{ccc} {\overline{i}} & {\overline{j}} & {\overline{k}} \\ {1} & {7} & {-1} \\ {-4} & {3} & {1} \end{array}\right|=10\cdot \bar{i}+3\cdot \bar{j}+31\cdot \bar{k}$.
Теперь находим площадь основания параллелепипеда как длину векторного произведения: $S=\left|\overline{v}\right|=\sqrt{10^{2} +3^{2} +31^{2} } =32,7109$ кв.од.
Находим объем параллелепипеда. При этом известно, что если ребрами параллелепипеда являются три некомпланарных вектора, приведенные к общему началу, то объем параллелепипеда равен модулю их смешанного произведения.
Известно также, что смешанное произведение трех векторов $\overline{a}=x_{1} \cdot \overline{i}+y_{1} \cdot \overline{j}+z_{1} \cdot \overline{k}$, $\overline{b}=x_{2} \cdot \overline{i}+y_{2} \cdot \overline{j}+z_{2} \cdot \overline{k}$ и $\overline{c}=x_{3} \cdot \overline{i}+y_{3} \cdot \overline{j}+z_{3} \cdot \overline{k}$ вычисляется по формуле $\left(\overline{a}\times \overline{b}\right)\cdot \overline{c}=\left|\begin{array}{ccc} {x_{1} } & {y_{1} } & {z_{1} } \\ {x_{2} } & {y_{2} } & {z_{2} } \\ {x_{3} } & {y_{3} } & {z_{3} } \end{array}\right|$.
Находим смешанное произведение векторов $\bar{a}=\bar{i}+7\cdot \bar{j}-\bar{k}$, $\bar{b}=-4\cdot \bar{i}+3\cdot \bar{j}+\bar{k}$ и $\bar{c}=-\bar{i}+\bar{j}+6\cdot \bar{k}$:
\[\left(\overline{a}\times \overline{b}\right)\cdot \overline{c}=\left|\begin{array}{ccc} {1} & {7} & {-1} \\ {-4} & {3} & {1} \\ {-1} & {1} & {6} \end{array}\right|==1\cdot 17-7\cdot \left(-23\right)+\left(-1\right)\cdot \left(-1\right)=17+161+1=179.\]Получаем объем параллелепипеда: $V=\left|179\right|=179$ куб.од.
Вершины $M$, $N$, $K$ при основании тетраэдра отсекают на координатных осях $Ox$, $Oy$ и $Oz$ отрезки $m=50$, $n=60$ и $k=120$ соответственно. Еще одна вершина тетраэдра находится в точке $L\left(a,b,c\right)$, где $a=150$, $b=80$, $c=60$. Найти угол между основанием тетраэдра $MNK$ и его боковой гранью $MNL$. Найти длину высоты тетраэдра, опущенной из вершины $L$ на основание $MNK$.
Уравнение $\frac{x}{m} +\frac{y}{n} +\frac{z}{k} =1$, где $m$, $n$ и $k$ -- отрезки, которые плоскость отсекает на координатных осях $Ox$, $Oy$ и $Oz$ соответственно, называется уравнением плоскости в отрезках.
Записываем уравнение основания тетраэдра $MNK$: $\frac{x}{50} +\frac{y}{60} +\frac{z}{120} =1$.
После преобразований получаем общее уравнение основания тетраэдра: $12\cdot x+10\cdot y+5\cdot z-600=0$.
Уравнение, имеющее вид $\left|\begin{array}{ccc} {x-x_{1} } & {y-y_{1} } & {z-z_{1} } \\ {x_{2} -x_{1} } & {y_{2} -y_{1} } & {z_{2} -z_{1} } \\ {x_{3} -x_{1} } & {y_{3} -y_{1} } & {z_{3} -z_{1} } \end{array}\right|=0$, является уравнением плоскости, проходящей через три точки $M_{1} \left(x_{1} ,y_{1} ,z_{1} \right)$, $M_{2} \left(x_{2} ,y_{2} ,z_{2} \right)$ и $M_{3} \left(x_{3} ,y_{3} ,z_{3} \right)$.
С помощью этого уравнения можем найти общее уравнение грани $MNL$, проходящей через точки $M\left(50,0,0\right)$, $N\left(0,60,0\right)$ и $L\left(150,80,60\right)$:
$\left|\begin{array}{ccc} {x-50} & {y-0} & {z-0} \\ {0-50} & {60-0} & {0-0} \\ {150-50} & {80-0} & {60-0} \end{array}\right|=0$ или $\left|\begin{array}{ccc} {x-50} & {y} & {z} \\ {-50} & {60} & {0} \\ {100} & {80} & {60} \end{array}\right|=0$.
После раскрытия определителя получаем общее уравнение боковой грани $MNL$: $18\cdot x+15\cdot y+50\cdot z-900=0$.
Чтобы найти угол между плоскостями $A_{1} \cdot x+B_{1} \cdot y+C_{1} \cdot z+D_{1} =0$ и $A_{2} \cdot x+B_{2} \cdot y+C_{2} \cdot z+D_{2} =0$, следует сначала вычислить косинус этого угла по формуле $\cos \phi =\frac{A_{1} \cdot A_{2} +B_{1} \cdot B_{2} +C_{1} \cdot C_{2} }{\sqrt{A_{1}^{2} +B_{1}^{2} +C_{1}^{2} } \cdot \sqrt{A_{2}^{2} +B_{2}^{2} +C_{2}^{2} } } $, а потом найти и сам угол по формуле $\phi =\arccos \left(\cos \phi \right)$. Если значение $\cos \phi >0$, то получен острый угол между плоскостями, если $\cos \phi
Находим угол между основанием тетраэдра $MNK$ и его гранью $MNL$, используя их общие уравнения:
\[\cos \phi =\frac{12\cdot 18+10\cdot 15+5\cdot 50}{\sqrt{12^{2} +10^{2} +5^{2} } \cdot \sqrt{18^{2} +15^{2} +50^{2} } } \approx 0,6802;\] \[\phi =\arccos \left(0,6802\right)=0,8228\; радиан =47,1{}^\circ ;\]смежный угол $\phi _{1} =180-47,1=132,9{}^\circ $.
Для определения высоты тетраэдра сначала построим нормальное уравнение основания тетраэдра.
Для приведения общего уравнения плоскости $A\cdot x+B\cdot y+C\cdot z+D=0$ к нормальному виду его нужно умножить на нормирующий множитель $\mu =\pm \frac{1}{\sqrt{A^{2} +B^{2} +C^{2} } } $. Знак в формуле выбирается противоположным знаку свободного члена $D$.
Для общего уравнения основания тетраэдра $12\cdot x+10\cdot y+5\cdot z-600=0$ имеем нормирующий множитель: $\mu =+\frac{1}{\sqrt{12^{2} +10^{2} +5^{2} } } \approx 0,06097$.
После умножения на нормирующий множитель получаем нормальное уравнение: $0,7316\cdot x+0,6097\cdot y+0,3049\cdot z-36,582=0$.
Вычисляем отклонение точки $L\left(150,80,60\right)$ от основания тетраэдра:
\[\delta =150\cdot 0,7316+80\cdot 0,6097+60\cdot 0,3049-36,582=140,228.\]Поскольку отклонение положительно, то точка $L$ и начало координат расположены по разные стороны от основания тетраэдра.
Высота тетраэдра: $d=\left|140,228\right|=140,228$ лин.ед.
