Для трех ребер OA, OB и OC параллелепипеда с общей вершиной O заданы координаты соответствующих вершин O(7,2,2), A(8,9,1), B(3,5,3) и C(6,3,8). Найти углы в основании параллелепипеда, считая, что его образует параллелограмм, построенный на ребрах OA и OB. Найти площадь основания параллелепипеда. Найти объем параллелепипеда.
Призмою называют многогранник, две грани которого -- основания -- являются одинаковыми многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а другие грани -- боковые -- являются параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками. Параллелепипедом называется призма, основаниями которой являются параллелограммы.
Пусть начало пространственного вектора ¯AB находится в точке A(xa,ya,za), а конец -- в точке B(xb,yb,zb). Алгебраически этот вектор записывают так: ¯AB=(xb−xa)⋅¯i+(yb−ya)⋅¯j+(zb−za)⋅¯k.
Используем эту формулу для представления каждого из ребер в виде вектора, имеющего начало в точке O. Используем для них обозначения: ˉa=¯OA, ˉb=¯OB и ˉc=¯OC. Алгебраическая запись этих векторов:
ˉa=(8−7)⋅ˉi+(9−2)⋅ˉj+(1−2)⋅ˉk или ˉa=ˉi+7⋅ˉj−ˉk;
ˉb=(3−7)⋅ˉi+(5−2)⋅ˉj+(3−2)⋅ˉk или ˉb=−4⋅ˉi+3⋅ˉj+ˉk;
ˉc=(6−7)⋅ˉi+(3−2)⋅ˉj+(8−2)⋅ˉk или ˉc=−ˉi+ˉj+6⋅ˉk.
Находим угол между векторами ¯a и ¯b в основании параллелепипеда. Для этого сначала вычислим скалярное произведение этих векторов.
Известно, что скалярное произведение ¯a⋅¯b двух векторов ¯a=x1⋅¯i+y1⋅¯j+z1⋅¯k и ¯b=x2⋅¯i+y2⋅¯j+z2⋅¯k вычисляется по формуле ¯a⋅¯b=x1⋅x2+y1⋅y2+z1⋅z2 или по формуле ¯a⋅¯b=|¯a|⋅|¯b|⋅cosϕ, где ϕ -- угол между векторами.
В нашем случае имеем:
¯a⋅¯b=x1⋅x2+y1⋅y2+z1⋅z2=1⋅(−4)+7⋅3+(−1)⋅1=−4+21−1=16.Теперь вычисляем длины этих векторов. Для этого используем следующую формулу: |¯AB|=√(xb−xa)2+(yb−ya)2+(zb−za)2.
Получаем:
|ˉa|=√12+72+(−1)2=√1+49+1=√51≈7,1414;Теперь можем вычислить косинус угла между векторами ¯a и ¯b:
cosϕ=ˉa⋅ˉb|ˉa|⋅|ˉb|=167,1414⋅5,0990≈0,44.Отсюда получаем значение угла между векторами ¯a и ¯b в основании параллелепипеда: ϕ=1,12радиан=64∘. Смежный угол ϕ1=180−64=116∘.
Вычисляем площадь основания параллелепипеда. При этом известно, что если сторонами параллелограмма являются два неколлинеарных вектора, приведенные к общему началу, то площадь параллелограмма равна длине их векторного произведения.
Известно также, что векторное произведение ¯v=¯aׯb двух векторов ¯a и ¯b вычисляется по формуле ¯v=|¯i¯j¯kx1y1z1x2y2z2|.
Находим векторное произведение векторов ˉa=ˉi+7⋅ˉj−ˉk и ˉb=−4⋅ˉi+3⋅ˉj+ˉk: ¯v=|¯i¯j¯k17−1−431|=10⋅ˉi+3⋅ˉj+31⋅ˉk.
Теперь находим площадь основания параллелепипеда как длину векторного произведения: S=|¯v|=√102+32+312=32,7109 кв.од.
Находим объем параллелепипеда. При этом известно, что если ребрами параллелепипеда являются три некомпланарных вектора, приведенные к общему началу, то объем параллелепипеда равен модулю их смешанного произведения.
Известно также, что смешанное произведение трех векторов ¯a=x1⋅¯i+y1⋅¯j+z1⋅¯k, ¯b=x2⋅¯i+y2⋅¯j+z2⋅¯k и ¯c=x3⋅¯i+y3⋅¯j+z3⋅¯k вычисляется по формуле (¯aׯb)⋅¯c=|x1y1z1x2y2z2x3y3z3|.
Находим смешанное произведение векторов ˉa=ˉi+7⋅ˉj−ˉk, ˉb=−4⋅ˉi+3⋅ˉj+ˉk и ˉc=−ˉi+ˉj+6⋅ˉk:
(¯aׯb)⋅¯c=|17−1−431−116|==1⋅17−7⋅(−23)+(−1)⋅(−1)=17+161+1=179.Получаем объем параллелепипеда: V=|179|=179 куб.од.
Вершины M, N, K при основании тетраэдра отсекают на координатных осях Ox, Oy и Oz отрезки m=50, n=60 и k=120 соответственно. Еще одна вершина тетраэдра находится в точке L(a,b,c), где a=150, b=80, c=60. Найти угол между основанием тетраэдра MNK и его боковой гранью MNL. Найти длину высоты тетраэдра, опущенной из вершины L на основание MNK.
Уравнение xm+yn+zk=1, где m, n и k -- отрезки, которые плоскость отсекает на координатных осях Ox, Oy и Oz соответственно, называется уравнением плоскости в отрезках.
Записываем уравнение основания тетраэдра MNK: x50+y60+z120=1.
После преобразований получаем общее уравнение основания тетраэдра: 12⋅x+10⋅y+5⋅z−600=0.
Уравнение, имеющее вид |x−x1y−y1z−z1x2−x1y2−y1z2−z1x3−x1y3−y1z3−z1|=0, является уравнением плоскости, проходящей через три точки M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2) и M3(x3,y3,z3).
С помощью этого уравнения можем найти общее уравнение грани MNL, проходящей через точки M(50,0,0), N(0,60,0) и L(150,80,60):
|x−50y−0z−00−5060−00−0150−5080−060−0|=0 или |x−50yz−506001008060|=0.
После раскрытия определителя получаем общее уравнение боковой грани MNL: 18⋅x+15⋅y+50⋅z−900=0.
Чтобы найти угол между плоскостями A1⋅x+B1⋅y+C1⋅z+D1=0 и A2⋅x+B2⋅y+C2⋅z+D2=0, следует сначала вычислить косинус этого угла по формуле cosϕ=A1⋅A2+B1⋅B2+C1⋅C2√A21+B21+C21⋅√A22+B22+C22, а потом найти и сам угол по формуле ϕ=arccos(cosϕ). Если значение cosϕ>0, то получен острый угол между плоскостями, если $\cos \phi
Находим угол между основанием тетраэдра MNK и его гранью MNL, используя их общие уравнения:
cosϕ=12⋅18+10⋅15+5⋅50√122+102+52⋅√182+152+502≈0,6802;смежный угол ϕ1=180−47,1=132,9∘.
Для определения высоты тетраэдра сначала построим нормальное уравнение основания тетраэдра.
Для приведения общего уравнения плоскости A⋅x+B⋅y+C⋅z+D=0 к нормальному виду его нужно умножить на нормирующий множитель μ=±1√A2+B2+C2. Знак в формуле выбирается противоположным знаку свободного члена D.
Для общего уравнения основания тетраэдра 12⋅x+10⋅y+5⋅z−600=0 имеем нормирующий множитель: μ=+1√122+102+52≈0,06097.
После умножения на нормирующий множитель получаем нормальное уравнение: 0,7316⋅x+0,6097⋅y+0,3049⋅z−36,582=0.
Вычисляем отклонение точки L(150,80,60) от основания тетраэдра:
δ=150⋅0,7316+80⋅0,6097+60⋅0,3049−36,582=140,228.Поскольку отклонение положительно, то точка L и начало координат расположены по разные стороны от основания тетраэдра.
Высота тетраэдра: d=|140,228|=140,228 лин.ед.