Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Cпособ неопределенных коэффициентов

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Математика / Способ неопределенных коэффициентов
Cпособ неопределенных коэффициентов

Этот метод представляет собой способ разложения рациональных дробей, имеющих форму $\frac{P}{Q}$ при уже известном разложении знаменателя, причём $P$ и $Q$ — многочлены и $Q$ имеет степень, старше чем у числителя.

Если же числитель содержит степень старше чем у знаменателя, то сначала необходимо выделить целую часть путём деления многочлена на многочлен, а затем уже работать с дробью, полученной в остатке.

Сущность метода

Замечание 1

Сам способ заключается в составлении системы уравнений, основанной на том, что после знака равенства записывается разложение числителя в буквенной форме, а общий знаменатель этих новых записанных дробей будет равен по-прежнему $Q$, но в разложенном виде.

Рассмотрим метод неопределённых коэффициентов подробнее.

После разложения знаменателя в общем случае возможно получить выражения первого вида $(x^2+px+q)^n$. Для него разложение на простые дроби будет выглядеть так:

$\frac{M_1x+N_1}{x^2 + px + q} + \frac{M_2x+N_2}{(x^2 + px + q)^2}+...+ \frac{M_mx+N_m}{(x^2 + px + q)^m}$.

Если же в разложении знаменателя присутствует множитель вот такого вида — $(x-a)^k$, то ему будет соответствовать вот такое разложение на простые дроби:

$\frac{A_1}{x-a}+\frac{A_2}{(x-a)^2}+… + \frac{A_k}{(x-a)^k}$.

Суммарно количество получающихся новых буквенных переменных равно $2m + k$.

После буквенного разложения имеем равенство, в котором слева и справа знаменатель равен. Это значит, что его можно отбросить, приведя простые дроби справа к общему знаменателю.

После избавления от знаменателя получаем равенство, где коэффициенты при переменных в левой части уравнения должны быть равны коэффициентам при правой. На основе этого составляется система уравнений и решается.

Применение метода

На практике данный метод применяют при интегрировании рациональных дробей и в некоторых других случаях.

Разберём на примере как применять данный метод.

Пример 1

Рассмотрим дробь $\frac{2x^2 + 2x + 13}{(x-2)(x^2 +1)^2}$.

Решение:

Воспользуемся вышеизложенным материалом и получим разложение:

$\frac{2x^2 + 2x + 13}{(x-2)(x^2 +1)^2}=\frac{A}{x-2} + \frac{Bx+C}{x^2+1} + \frac{Dx+E}{(x^2+1)^2}$

Теперь приведём правую часть к общему знаменателю:

$2x^2 + 2x + 13 = A (x^2 +1)^2 + (Bx + C)(x^2 + 1) (x-2) + (Dx + E) (x-2)$.

Составляем систему уравнений, причём после знака «равно» записываются коэффициенты при старших степенях переменных, стоящих слева:

$\begin{cases} A + B = 0 \\ 2B + C = 0 \\ 2A + B – 2C + D = 2 \\ - 2B + C – 2D + E = 2 \\ A – 2C – 2E =13 \\ \end{cases}$

Из этой системы получаем, что $A=1; B = - 1; C = -2; D = - 3; E = -4$.

Итого, используя метод неопределённых коэффициентов, мы получили разложение:

$\frac{2x^2 + 2x + 13}{(x-2)(x^2 +1)^2}=\frac{1}{x-2} - \frac{x + 2}{x^2 + 1} - \frac{3x + 4}{(x^2+1)^2}$.