- полюс полярной системы координат будет совпадать с началом координат комплексной плоскости, т.е. точкой $O(0;0)$;
- полярная ось будет совпадать с положительным направлением оси $Ox$ .
Обозначим полярные координаты рассматриваемой точки М через $r$ и $\varphi$,
где $r \ge 0$ (рис. 1).
Рис. 1
Связь координат двух систем задается следующими равенствами:
$a=r \cos \varphi $, $b=r \sin \varphi $Подставим приведенные выше равенства в запись заданного комплексного числа в виде $z=a+bi$ и получим
$$z=r \cos \varphi + i \cdot r \sin \varphi$$или
$$z=r(\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi)$$Запись некоторого комплексного числа $z$ в виде $z=r(\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi)$ называется тригонометрической формой записи, при этом число $r$ - модуль данного комплексного числа $z$ , $\varphi$ - аргумент данного комплексного числа $z$ .
Модуль некоторого комплексного числа вычисляется по следующей формуле:
$z=|z|=|a+bi|=\sqrt {a^2+b^2}$.Аргумент $\varphi$ некоторого комплексного числа $z=a+bi$ можно вычислить, используя следующие формулы:
$$\varphi = tg \frac{b}{a}; \cos \varphi = \frac {a} {\sqrt {a^2+b^2}}; \sin \varphi = \frac {b} {\sqrt {a^2+b^2}}$$На практике для вычисления значения аргумента заданного комплексного числа $z=a+bi$ обычно пользуются формулой:
$$ \varphi = arg z = \begin{equation*} \begin{cases} arctg \frac {b}{a}, a \ge 0, (*) \\ arctg \frac{b} {a} + \pi, a или решают систему уравнений $$ \begin{equation*} \begin{cases} cos \varphi = \frac {a} {\sqrt {a^2+b^2}}, (**) \\ sin \varphi = \frac {b} {\sqrt {a^2+b^2}} \end{cases} \end{equation*}$$Аргумент вещественных чисел равен соответственно:
- 0 для положительного числа;
- $\pi$ для отрицательного числа.
Аргумент чисто мнимых чисел равен соответственно:
Аргумент некоторого комплексного числа $z$ считается:
Аргумент некоторого комплексного числа $z$ определяется не однозначно, а с точностью до слагаемого $2 \pi k$, где $k \in Z$.
Решение:
Тригонометрическая форма записи некоторого комплексного числа имеет вид $z=r(cos \varphi + i \cdot sin \varphi)$.
Для $r=0, \varphi=5 \pi$ получаем комплексное число $z=0 \cdot (cos5 \pi + i \cdot sin 5 \pi)$.
Для $r=10, \varphi = \frac {\pi}{2}$ получаем комплексное число $z=10 \cdot (cos \frac {\pi}{2} + i \cdot sin \frac {\pi} {2}$.
Для $r= \sqrt {2}, \varphi=- \frac {\pi}{3}$ получаем комплексное число $z= \sqrt {2} \cdot (cos (- \frac {\pi}{3}) + i \cdot (- \frac {\pi}{3}))$.
Для $r=3, \varphi=0$ получаем комплексное число $z=3 \cdot (cos0+i \cdot sin0)$.
Запись некоторого комплексного числа $z$ в виде $z=a+bi$ называется алгебраической формой записи (или алгебраической записью) комплексного числа. При этом:
- $a$ - вещественная (действительная) часть, обозначение Re$z=a$;
- $b$ - мнимая часть, обозначение Im $z=b$.
Чтобы комплексное число $z$, записанное в алгебраической форме, привести к тригонометрической форме записи, необходимо выполнить следующее:
- вычислить модуль и аргумент;
- подставить полученные значения в выражение $z=r(cos \varphi + i \cdot sin \varphi)$.
Представить заданные комплексные числа в тригонометрической форме:
1) $z=3+0$ ; 2) $Z= \frac {1}{2} + \frac {1}{2} \cdot i$.Решение:
Тригонометрическая форма записи некоторого комплексного числа имеет вид $z=r(cos \varphi + i \cdot sin \varphi)$.
1) По условию $a=3, b=0$.
Вычислим модуль исходного комплексного числа: $$ r= \sqrt {3^2 + 0^2}=3$$Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):
$$ \varphi = artg z = arctg \frac {0}{3} = arctg0 = 0$$
Подставим полученные значения и получим:
$$z=3 \cdot (cos0+isin0)$$
Следовательно, $z=3 \cdot (cos0+isin0)$ - искомая запись комплексного числа.
2) По условию $a= \frac {1}{2}, b= \frac {1}{2}$
Вычислим модуль исходного комплексного числа:
$$r= \sqrt {\frac {1}{2}^2 + \frac {1}{2}^2} = \sqrt \frac {1}{4}+{1}{4}=\frac {1}{2}= \frac {\sqrt {2}}{2}$$Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):
$$ \varphi = arg z = arctg \frac {1/2}{1/2} = arctgl = \frac {\pi}{4}$$Подставим полученные значения и получим:
$$z=\frac {\sqrt {2}}{2} \cdot (cos \frac {pi}{4}+isin \frac {\pi}{4})$$Следовательно, $z=\frac {\sqrt {2}}{2} \cdot (cos \frac {pi}{4}+isin \frac {\pi}{4})$ - искомая запись комплексного числа.
Запись комплексного числа $z$ в виде $z=r \cdot e^{i \varphi}$ называется показательной формой записи, где число $r$ - модуль комплексного числа $z$, определяемый по формуле $r=|z|=|a+bi|=\sqrt {a^2+b^2}$, $\varphi$ - аргумент комплексного числа $z$ , определяемый по формуле $\varphi = arctg \frac {b}{a}$ .
Чтобы комплексное число $z$, записанное в показательной форме, привести к тригонометрической форме записи, необходимо выполнить следующее:
- определить из показательной записи числа значения модуля и аргумента;
- подставить полученные значения в выражение $z=r(cos \varphi + i \cdot \varphi)$.
Представить заданные комплексные числа в тригонометрической форме:
1) $z=3 \cdot e^{\frac {\pi}{3}i}$ ; 2) $z=6 \cdot e^{\pi \cdot i}$.Решение:
Тригонометрическая форма записи некоторого комплексного числа имеет вид $z=r(cos \varphi + i \cdot sin \varphi)$.
1) Определим значения модуля и аргумента: $r=3, \varphi = \frac {\pi}{3}$.
Запись числа в тригонометрической форме имеет вид: $z=3 \cdot (cos \frac {\pi}{3} + i sin \frac {\pi}{3})$.
2) Определим значения модуля и аргумента: $r=6, \varphi = \pi$.
Запись числа в тригонометрической форме имеет вид: $z=6 \cdot (cos \pi + i sin \pi)$.
Таким образом, можно сделать вывод о том, что в каком бы виде не было записано комплексное число $z$, его всегда можно представить в тригонометрической форме записи $z=r \cdot (cos \varphi + i sin \varphi)$.
