Processing math: 100%
Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Свойства векторов

Предварительные сведения

Перед тем как вводить свойства векторов, введем, непосредственно, понятие вектора, а также понятия их сложения, умножения на число и их равенства.

Для того, чтобы ввести определение геометрического вектора вспомним, что такое отрезок. Введем следующее определение.

Определение 1

Отрезком будем называть часть прямой, которая имеет две границы в виде точек.

Отрезок может иметь 2 направления. Для обозначения направления будем называть одну из границ отрезка его началом, а другую границу - его концом. Направление указывается от его начала к концу отрезка.

Определение 2

Вектором или направленным отрезком будем называть такой отрезок, для которого известно, какая из границ отрезка считается началом, а какая его концом.

Обозначение: Двумя буквами: ¯AB - (где A его начало, а B – его конец).

Одной маленькой буквой: ¯a (рис. 1).

а) вектор $\overline{a}$. б) вектор $\overline{AB}$

Введем еще несколько понятий, связанных с понятием вектора.

Чтобы ввести определение равенства двух векторов, сначала нужно разобраться с такими понятиями, как коллинеарность, сонаправленность, противоположная направленность двух векторов, а также длину вектора.

Определение 3

Два ненулевых вектора будем называть коллинеарными, если они лежат на одной и той же прямой или на прямых, параллельных друг другу (рис.2).

«Свойства векторов» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Помощь с рефератом от нейросети
Написать ИИ
Определение 4

Два ненулевых вектора будем называть сонаправленными, если они удовлетворяют двум условиям:

  1. Эти векторы коллинеарны.
  2. Если они будут направлены в одну сторону (рис. 3).

Обозначение: ¯a↑↑¯b

Определение 5

Два ненулевых вектора будем называть противоположно направленными, если они удовлетворяют двум условиям:

  1. Эти векторы коллинеарны.
  2. Если они направлены в разные стороны (рис. 4).

Обозначение: ¯a↑↓¯d

Определение 6

Длиной вектора ¯a будем называть длину отрезка a.

Обозначение: |¯a|

Перейдем к определению равенства двух векторов

Определение 7

Два вектора будем называть равными, если они удовлетворяют двух условиям:

  1. Они сонаправлены;
  2. Их длины равны (рис. 5).

Осталось ввести понятие сложения векторов, а также их умножения на число.

Определение 8

Суммой векторов ¯a+b будем называть вектор ¯c=¯AC, который построен следующим образом: От произвольной точки A отложем ¯AB=¯a, далее от точки B отложем ¯BC=¯b и соединим точку A c точкой C (рис. 6).

Определение 9

Произведением вектора ¯a на kR будем называть вектор ¯b который будет удовлетворять условиям:

  1. |¯b|=|k||¯a|;
  2. ¯a↑↑¯b при k0 и, ¯a↑↓¯b при $k

Свойства сложения векторов

Введем свойства сложения для трех векторов ¯α, ¯β и ¯γ:

  1. Коммутативность сложения векторов:

    ¯α+¯β=¯β+¯α

  2. Ассоциативность трех векторов по сложению:

    (¯α+¯β)+¯γ=¯α+(¯β+¯γ)

  3. Сложение с нулевым вектором:

    ¯α+¯0=¯α

  4. Сложение противоположных векторов

    ¯α+(¯α)=¯0

Все эти свойства можно легко проверить с помощью построений таких векторов с помощью определения 8. В двух первых сравнением построенных векторов с правой и левой частей равенства, а в третьем и четвертом с помощью построения вектора с левой стороны.

Свойства умножения вектора на число

Введем свойства умножения для двух векторов ¯α, ¯β и чисел a и b.

  1. a(¯α+¯β)=a¯α+a¯β
  2. ¯α(a+b)=¯αa+¯αb
  3. (ab)¯α=a(b¯α)=b(a¯α)
  4. 1¯α=¯α

Все эти свойства можно легко проверить с использованием определений 8 и 9. В двух первых сравнением построенных векторов с правой и левой частей равенства, в третьем сравнением всех векторов, входящих в равенство, и в четвертом с помощью построения вектора с левой стороны.

Пример задачи

Пример 1

Провести сложение векторов

2¯AB+(2¯BC+3¯AC)

Решение.

Используя свойство сложения 2, получим:

2¯AB+(2¯BC+3¯AC)=(2¯AB+2¯BC)+3¯AC

Используя свойство умножения на число 1, получим:

(2¯AB+2¯BC)+3¯AC=2(¯AB+¯BC)+3¯AC=2¯BC+3¯AC=5¯AC

Ответ: 5¯AC.

Дата последнего обновления статьи: 13.07.2024
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Крупнейшая русскоязычная библиотека студенческих решенных задач
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Свойства векторов"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant