Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Свойства векторов

Предварительные сведения

Перед тем как вводить свойства векторов, введем, непосредственно, понятие вектора, а также понятия их сложения, умножения на число и их равенства.

Для того, чтобы ввести определение геометрического вектора вспомним, что такое отрезок. Введем следующее определение.

Определение 1

Отрезком будем называть часть прямой, которая имеет две границы в виде точек.

Отрезок может иметь 2 направления. Для обозначения направления будем называть одну из границ отрезка его началом, а другую границу - его концом. Направление указывается от его начала к концу отрезка.

Определение 2

Вектором или направленным отрезком будем называть такой отрезок, для которого известно, какая из границ отрезка считается началом, а какая его концом.

Обозначение: Двумя буквами: AB¯ - (где A его начало, а B – его конец).

Одной маленькой буквой: a¯ (рис. 1).

а) вектор $\overline{a}$. б) вектор $\overline{AB}$

Введем еще несколько понятий, связанных с понятием вектора.

Чтобы ввести определение равенства двух векторов, сначала нужно разобраться с такими понятиями, как коллинеарность, сонаправленность, противоположная направленность двух векторов, а также длину вектора.

Определение 3

Два ненулевых вектора будем называть коллинеарными, если они лежат на одной и той же прямой или на прямых, параллельных друг другу (рис.2).

«Свойства векторов» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Найти
Определение 4

Два ненулевых вектора будем называть сонаправленными, если они удовлетворяют двум условиям:

  1. Эти векторы коллинеарны.
  2. Если они будут направлены в одну сторону (рис. 3).

Обозначение: a¯↑↑b¯

Определение 5

Два ненулевых вектора будем называть противоположно направленными, если они удовлетворяют двум условиям:

  1. Эти векторы коллинеарны.
  2. Если они направлены в разные стороны (рис. 4).

Обозначение: a¯↑↓d¯

Определение 6

Длиной вектора a¯ будем называть длину отрезка a.

Обозначение: |a¯|

Перейдем к определению равенства двух векторов

Определение 7

Два вектора будем называть равными, если они удовлетворяют двух условиям:

  1. Они сонаправлены;
  2. Их длины равны (рис. 5).

Осталось ввести понятие сложения векторов, а также их умножения на число.

Определение 8

Суммой векторов a+b¯ будем называть вектор c¯=AC¯, который построен следующим образом: От произвольной точки A отложем AB¯=a¯, далее от точки B отложем BC¯=b¯ и соединим точку A c точкой C (рис. 6).

Определение 9

Произведением вектора a¯ на kR будем называть вектор b¯ который будет удовлетворять условиям:

  1. |b¯|=|k||a¯|;
  2. a¯↑↑b¯ при k0 и, a¯↑↓b¯ при $k

Свойства сложения векторов

Введем свойства сложения для трех векторов α¯, β¯ и γ¯:

  1. Коммутативность сложения векторов:

    α¯+β¯=β¯+α¯

  2. Ассоциативность трех векторов по сложению:

    (α¯+β¯)+γ¯=α¯+(β¯+γ¯)

  3. Сложение с нулевым вектором:

    α¯+0¯=α¯

  4. Сложение противоположных векторов

    α¯+(α¯)=0¯

Все эти свойства можно легко проверить с помощью построений таких векторов с помощью определения 8. В двух первых сравнением построенных векторов с правой и левой частей равенства, а в третьем и четвертом с помощью построения вектора с левой стороны.

Свойства умножения вектора на число

Введем свойства умножения для двух векторов α¯, β¯ и чисел a и b.

  1. a(α¯+β¯)=aα¯+aβ¯
  2. α¯(a+b)=α¯a+α¯b
  3. (ab)α¯=a(bα¯)=b(aα¯)
  4. 1α¯=α¯

Все эти свойства можно легко проверить с использованием определений 8 и 9. В двух первых сравнением построенных векторов с правой и левой частей равенства, в третьем сравнением всех векторов, входящих в равенство, и в четвертом с помощью построения вектора с левой стороны.

Пример задачи

Пример 1

Провести сложение векторов

2AB¯+(2BC¯+3AC¯)

Решение.

Используя свойство сложения 2, получим:

2AB¯+(2BC¯+3AC¯)=(2AB¯+2BC¯)+3AC¯

Используя свойство умножения на число 1, получим:

(2AB¯+2BC¯)+3AC¯=2(AB¯+BC¯)+3AC¯=2BC¯+3AC¯=5AC¯

Ответ: 5AC¯.

Дата последнего обновления статьи: 13.07.2024
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Крупнейшая русскоязычная библиотека студенческих решенных задач
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Свойства векторов"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant