Предварительные сведения
Перед тем как вводить свойства векторов, введем, непосредственно, понятие вектора, а также понятия их сложения, умножения на число и их равенства.
Для того, чтобы ввести определение геометрического вектора вспомним, что такое отрезок. Введем следующее определение.
Отрезком будем называть часть прямой, которая имеет две границы в виде точек.
Отрезок может иметь 2 направления. Для обозначения направления будем называть одну из границ отрезка его началом, а другую границу - его концом. Направление указывается от его начала к концу отрезка.
Вектором или направленным отрезком будем называть такой отрезок, для которого известно, какая из границ отрезка считается началом, а какая его концом.
Обозначение: Двумя буквами: ¯AB - (где A его начало, а B – его конец).
Одной маленькой буквой: ¯a (рис. 1).
Введем еще несколько понятий, связанных с понятием вектора.
Чтобы ввести определение равенства двух векторов, сначала нужно разобраться с такими понятиями, как коллинеарность, сонаправленность, противоположная направленность двух векторов, а также длину вектора.
Два ненулевых вектора будем называть коллинеарными, если они лежат на одной и той же прямой или на прямых, параллельных друг другу (рис.2).
Два ненулевых вектора будем называть сонаправленными, если они удовлетворяют двум условиям:
- Эти векторы коллинеарны.
- Если они будут направлены в одну сторону (рис. 3).
Обозначение: ¯a↑↑¯b
Два ненулевых вектора будем называть противоположно направленными, если они удовлетворяют двум условиям:
- Эти векторы коллинеарны.
- Если они направлены в разные стороны (рис. 4).
Обозначение: ¯a↑↓¯d
Длиной вектора ¯a будем называть длину отрезка a.
Обозначение: |¯a|
Перейдем к определению равенства двух векторов
Два вектора будем называть равными, если они удовлетворяют двух условиям:
- Они сонаправлены;
- Их длины равны (рис. 5).
Осталось ввести понятие сложения векторов, а также их умножения на число.
Суммой векторов ¯a+b будем называть вектор ¯c=¯AC, который построен следующим образом: От произвольной точки A отложем ¯AB=¯a, далее от точки B отложем ¯BC=¯b и соединим точку A c точкой C (рис. 6).
Произведением вектора ¯a на k∈R будем называть вектор ¯b который будет удовлетворять условиям:
- |¯b|=|k||¯a|;
- ¯a↑↑¯b при k≥0 и, ¯a↑↓¯b при $k
Свойства сложения векторов
Введем свойства сложения для трех векторов ¯α, ¯β и ¯γ:
-
Коммутативность сложения векторов:
¯α+¯β=¯β+¯α
-
Ассоциативность трех векторов по сложению:
(¯α+¯β)+¯γ=¯α+(¯β+¯γ)
-
Сложение с нулевым вектором:
¯α+¯0=¯α
-
Сложение противоположных векторов
¯α+(¯−α)=¯0
Все эти свойства можно легко проверить с помощью построений таких векторов с помощью определения 8. В двух первых сравнением построенных векторов с правой и левой частей равенства, а в третьем и четвертом с помощью построения вектора с левой стороны.
Свойства умножения вектора на число
Введем свойства умножения для двух векторов ¯α, ¯β и чисел a и b.
- a(¯α+¯β)=a¯α+a¯β
- ¯α(a+b)=¯αa+¯αb
- (ab)¯α=a(b¯α)=b(a¯α)
- 1⋅¯α=¯α
Все эти свойства можно легко проверить с использованием определений 8 и 9. В двух первых сравнением построенных векторов с правой и левой частей равенства, в третьем сравнением всех векторов, входящих в равенство, и в четвертом с помощью построения вектора с левой стороны.
Пример задачи
Провести сложение векторов
2¯AB+(2¯BC+3¯AC)
Решение.
Используя свойство сложения 2, получим:
2¯AB+(2¯BC+3¯AC)=(2¯AB+2¯BC)+3¯AC
Используя свойство умножения на число 1, получим:
(2¯AB+2¯BC)+3¯AC=2(¯AB+¯BC)+3¯AC=2¯BC+3¯AC=5¯AC
Ответ: 5¯AC.