Свойства векторов

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Предварительные сведения

Перед тем как вводить свойства векторов, введем, непосредственно, понятие вектора, а также понятия их сложения, умножения на число и их равенства.

Для того, чтобы ввести определение геометрического вектора вспомним, что такое отрезок. Введем следующее определение.

Определение 1

Отрезком будем называть часть прямой, которая имеет две границы в виде точек.

Отрезок может иметь 2 направления. Для обозначения направления будем называть одну из границ отрезка его началом, а другую границу - его концом. Направление указывается от его начала к концу отрезка.

Определение 2

Вектором или направленным отрезком будем называть такой отрезок, для которого известно, какая из границ отрезка считается началом, а какая его концом.

Обозначение: Двумя буквами: $\overline{AB}$ - (где $A$ его начало, а $B$ – его конец).

Одной маленькой буквой: $\overline{a}$ (рис. 1).

$а) вектор $\overline{a}$. б) вектор $\overline{AB}$$

Введем еще несколько понятий, связанных с понятием вектора.

Чтобы ввести определение равенства двух векторов, сначала нужно разобраться с такими понятиями, как коллинеарность, сонаправленность, противоположная направленность двух векторов, а также длину вектора.

Определение 3

Два ненулевых вектора будем называть коллинеарными, если они лежат на одной и той же прямой или на прямых, параллельных друг другу (рис.2).

«Свойства векторов» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Найти

Определение 4

Два ненулевых вектора будем называть сонаправленными, если они удовлетворяют двум условиям:

Эти векторы коллинеарны.
Если они будут направлены в одну сторону (рис. 3).

Обозначение: $\overline{a}↑↑\overline{b}$

Определение 5

Два ненулевых вектора будем называть противоположно направленными, если они удовлетворяют двум условиям:

Эти векторы коллинеарны.
Если они направлены в разные стороны (рис. 4).

Обозначение: $\overline{a}↑↓\overline{d}$

Определение 6

Длиной вектора $\overline{a}$ будем называть длину отрезка $a$ .

Обозначение: $|\overline{a}|$

Перейдем к определению равенства двух векторов

Определение 7

Два вектора будем называть равными, если они удовлетворяют двух условиям:

Они сонаправлены;
Их длины равны (рис. 5).

Осталось ввести понятие сложения векторов, а также их умножения на число.

Определение 8

Суммой векторов $\overline{a+b}$ будем называть вектор $\overline{c}=\overline{AC}$ , который построен следующим образом: От произвольной точки A отложем $\overline{AB}=\overline{a}$ , далее от точки $B$ отложем $\overline{BC}=\overline{b}$ и соединим точку $A$ c точкой $C$ (рис. 6).

Определение 9

Произведением вектора $\overline{a}$ на $k∈R$ будем называть вектор $\overline{b}$ который будет удовлетворять условиям:

$|\overline{b}|=|k||\overline{a}|$ ;
$\overline{a}↑↑\overline{b}$ при $k≥0$ и, $\overline{a}↑↓\overline{b}$ при $k

Свойства сложения векторов

Введем свойства сложения для трех векторов $\overline{α}$ , $\overline{β}$ и $\overline{γ}$ :

Коммутативность сложения векторов:

$\overline{α}+\overline{β}=\overline{β}+\overline{α}$
Ассоциативность трех векторов по сложению:

$(\overline{α}+\overline{β})+\overline{γ}=\overline{α}+(\overline{β}+\overline{γ})$
Сложение с нулевым вектором:

$\overline{α}+\overline{0}=\overline{α}$
Сложение противоположных векторов

$\overline{α}+(\overline{-α})=\overline{0}$

Все эти свойства можно легко проверить с помощью построений таких векторов с помощью определения 8. В двух первых сравнением построенных векторов с правой и левой частей равенства, а в третьем и четвертом с помощью построения вектора с левой стороны.

Свойства умножения вектора на число

Введем свойства умножения для двух векторов $\overline{α}$ , $\overline{β}$ и чисел $a$ и $b$ .

$a(\overline{α}+\overline{β})=a\overline{α}+a\overline{β}$
$\overline{α}(a+b)=\overline{α}a+\overline{α}b$
$(ab)\overline{α}=a(b\overline{α})=b(a\overline{α})$
$1\cdot \overline{α}=\overline{α}$

Все эти свойства можно легко проверить с использованием определений 8 и 9. В двух первых сравнением построенных векторов с правой и левой частей равенства, в третьем сравнением всех векторов, входящих в равенство, и в четвертом с помощью построения вектора с левой стороны.