Сложение и вычитание натуральных чисел

Сложение натуральных чисел

Для получения числа, которое следует за натуральным, нужно прибавить к нему единицу.

Свойства сложения

1. Переместительное свойство (коммутативность):

   При перестановке слагаемых сумма не меняется

   $1 + 5 = 5 + 1 = 6.$

   В общем виде переместительное свойство записывается так:

   $a + b = b + a$.

2. Сочетательное свойство (ассоциативность):

   Сумма трех и более слагаемых не изменится, если изменить порядок их сложения

   $2 + ( 8 + 3 ) = ( 2 + 8 ) + 3 = 13.$

   В общем виде сочетательное свойство записывается так:

   $a + ( b + c ) = ( a + b ) + c.$

3. Свойство прибавления нуля:

   Если к числу прибавить нуль, то сумма будет равна самому числу

   $7 + 0 = 7.$

   К этому свойству можно применить переместительное свойство, получим:

   Если к нулю прибавить число, то сумма будет равна прибавляемому числу

   $0 + 7 = 7.$

   В общем виде:

   $a + 0 = 0 + a = a.$

   Если точкой $C$ разделить отрезок $AB$, то сумма длин отрезков $AC$ и $CB$ будет равна длине отрезка $AB$.

   
   
   Рисунок 2.

   Записывается: $AB = AC + CB$.

   Сложение чисел можно удобно выполнять «в столбик»:

   
   
   Рисунок 3.

Статья: Сложение и вычитание натуральных чисел

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Найти решение задачи

Вычитание натуральных чисел

Вычитание -- операция, обратная сложению.

Свойства вычитания

1. Свойство вычитания суммы из числа:

   $a - ( b + c ) = a - b - c.$

   Например, нужно найти значение выражения:

   $123 - ( 23 + 45 ) = 123 - 68 = 55.$

   Однако намного удобнее считать так:

   $123 - ( 23 + 45 ) = 123 - 23 - 45 = 100 - 45 = 55.$

   В этом выражении нужно вычесть сумму из числа, а можно сначала вычесть из уменьшаемого одно слагаемое, а потом из полученной разности вычесть второе слагаемое.

   Например, найдем результат выражения:

   $217 - 33 - 27 = 184 - 27 = 157.$

   Но гораздо легче найти сумму вычитаемых и вычесть ее из уменьшаемого:

   $217 - 33 - 23 = 217 - ( 33 + 27 ) = 217 - 60 = 157.$

2. Свойство вычитания числа из суммы:

   если $c

   если $c

   Рассмотрим три примера с одинаковыми результатами.

   $( 6 + 5 ) - 4=11 - 4=7;$

   $6 + ( 5 - 4 )=6 + 1=7;$

   $( 6 - 4 ) + 5=2 + 5=7.$

   Откуда получаем: $( 6 + 5 ) - 4=6 + ( 5 - 4 )=( 6 - 4 ) + 5.$

   Если нужно вычесть число из суммы, можно вычесть его из любого слагаемого и к полученной разности прибавить другое слагаемое.

   Вычитаемое обязательно должно быть меньше слагаемого, из которого его вычитают, или равным ему.

   Пример 3

   $( 234 + 123 ) - 134=357 - 134=223.$

   Но намного удобнее считать так:

   $( 234 + 123 ) - 134=234 - 134+ 123=100+ 123=223.$

3. Если из числа вычесть нуль, оно не изменится:

   $a - 0 = a.$

   Если из числа вычесть это же число, получим нуль:

   $a - a = 0.$

   Т.к. $9 + 0 = 9$, то по смыслу вычитания имеем:

   $9 - 9 = 0$ или $9 - 0 = 9.$

   Результат вычитания удобно находить «в столбик»:

   
   
   Рисунок 5.

   Если точкой $C$ разделяется отрезок $AB$, то разность длин отрезков $AB$ и CB$ равна длине отрезка $AC.$

   
   
   Рисунок 6.

   Записывается: $AB - CB = AC$ или $AB - AC = CB.$

   Если $AB = 7$ см, а $CB = 4$ см, то $AC = 7 - 4 = 3$ см.

   Пример 4

   Решить уравнение $63 - x = 55.$

   Решение:

   $x = 63 - 55$, откуда $x = 8.$

   Число $8$ называется корнем уравнения $63 - x = 55$, т.к. получаем верное равенство $63 - 8 = 55.$

   Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.