Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Сложение и вычитание натуральных чисел

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Математика / Натуральные числа / Сложение и вычитание натуральных чисел
Сложение и вычитание натуральных чисел

Сложение натуральных чисел

Для получения числа, которое следует за натуральным, нужно прибавить к нему единицу.

Пример 1

$5 + 1 = 6;$

$48 + 1 = 49$

Для сложения чисел $9$ и $3$ нужно к числу $9$ прибавить $3$ раза единицу.

Получим:

$9 + 3 = 9 + 1 + 1 + 1 = 10 + 1 +1 = 11 + 1 = 12.$

Записывают короче:

$9 + 3 = 12.$

Числа, которые складывают, называют слагаемыми, а результат их сложения -- суммой.



Рисунок 1.

В примере $9 + 3 = 12$:

$9$ и $3$ -- слагаемые, $6$ -- сумма.

Свойства сложения

  1. Переместительное свойство (коммутативность):

    При перестановке слагаемых сумма не меняется

    $1 + 5 = 5 + 1 = 6.$

    В общем виде переместительное свойство записывается так:

    $a + b = b + a$.

  2. Сочетательное свойство (ассоциативность):

    Сумма трех и более слагаемых не изменится, если изменить порядок их сложения

    $2 + ( 8 + 3 ) = ( 2 + 8 ) + 3 = 13.$

    В общем виде сочетательное свойство записывается так:

    $a + ( b + c ) = ( a + b ) + c.$

  3. Свойство прибавления нуля:

    Если к числу прибавить нуль, то сумма будет равна самому числу

    $7 + 0 = 7.$

    К этому свойству можно применить переместительное свойство, получим:

    Если к нулю прибавить число, то сумма будет равна прибавляемому числу

    $0 + 7 = 7.$

    В общем виде:

    $a + 0 = 0 + a = a.$

    Если точкой $C$ разделить отрезок $AB$, то сумма длин отрезков $AC$ и $CB$ будет равна длине отрезка $AB$.



    Рисунок 2.

    Записывается: $AB = AC + CB$.

    Сложение чисел можно удобно выполнять «в столбик»:



    Рисунок 3.

Вычитание натуральных чисел

Вычитание -- операция, обратная сложению.

Пример 2

На тарелке лежало $7$ яблок, съели $3$ яблока. Сколько яблок осталось на тарелке?

Очевидно, что если к оставшемуся числу яблок $(x)$ добавить $3$ яблока, то их станет $7$:

$x + 3 = 7.$

Таким образом, известно одно слагаемое и сумма, нужно найти второе слагаемое.

Для этого используется вычитание:

$x = 7 - 3 = 4$, т.к. $3 + 4 = 7.$

Число, из которого вычитают, называется уменьшаемым, а число, которое вычитают, -- вычитаемым. Результат вычитания называется разностью.

Из данной задачи получаем:

$7$ -- уменьшаемое, $3$ -- вычитаемое, $8$ -- разность.

В общем виде

Если $b + c = a$, то



Рисунок 4.

При вычитании натуральных чисел уменьшаемое обязательно должно быть больше вычитаемого:

$11 - 3 = 8; 8 > 3.$

Разность двух чисел находят, чтобы узнать на сколько уменьшаемое больше вычитаемого или на сколько вычитаемое меньше уменьшаемого:

$11$ больше $3$ на $8$.

Свойства вычитания

  1. Свойство вычитания суммы из числа:

    $a - ( b + c ) = a - b - c.$

    Например, нужно найти значение выражения:

    $123 - ( 23 + 45 ) = 123 - 68 = 55.$

    Однако намного удобнее считать так:

    $123 - ( 23 + 45 ) = 123 - 23 - 45 = 100 - 45 = 55.$

    В этом выражении нужно вычесть сумму из числа, а можно сначала вычесть из уменьшаемого одно слагаемое, а потом из полученной разности вычесть второе слагаемое.

    Например, найдем результат выражения:

    $217 - 33 - 27 = 184 - 27 = 157.$

    Но гораздо легче найти сумму вычитаемых и вычесть ее из уменьшаемого:

    $217 - 33 - 23 = 217 - ( 33 + 27 ) = 217 - 60 = 157.$

  2. Свойство вычитания числа из суммы:

    если $c

    если $c

    Рассмотрим три примера с одинаковыми результатами.

    $( 6 + 5 ) - 4=11 - 4=7;$

    $6 + ( 5 - 4 )=6 + 1=7;$

    $( 6 - 4 ) + 5=2 + 5=7.$

    Откуда получаем: $( 6 + 5 ) - 4=6 + ( 5 - 4 )=( 6 - 4 ) + 5.$

    Если нужно вычесть число из суммы, можно вычесть его из любого слагаемого и к полученной разности прибавить другое слагаемое.

    Вычитаемое обязательно должно быть меньше слагаемого, из которого его вычитают, или равным ему.

    Пример 3

    $( 234 + 123 ) - 134=357 - 134=223.$

    Но намного удобнее считать так:

    $( 234 + 123 ) - 134=234 - 134+ 123=100+ 123=223.$

  3. Если из числа вычесть нуль, оно не изменится:

    $a - 0 = a.$

    Если из числа вычесть это же число, получим нуль:

    $a - a = 0.$

    Т.к. $9 + 0 = 9$, то по смыслу вычитания имеем:

    $9 - 9 = 0$ или $9 - 0 = 9.$

    Результат вычитания удобно находить «в столбик»:



    Рисунок 5.

    Если точкой $C$ разделяется отрезок $AB$, то разность длин отрезков $AB$ и CB$ равна длине отрезка $AC.$



    Рисунок 6.

    Записывается: $AB - CB = AC$ или $AB - AC = CB.$

    Если $AB = 7$ см, а $CB = 4$ см, то $AC = 7 - 4 = 3$ см.

    Пример 4

    Решить уравнение $63 - x = 55.$

    Решение:

    $x = 63 - 55$, откуда $x = 8.$

    Число $8$ называется корнем уравнения $63 - x = 55$, т.к. получаем верное равенство $63 - 8 = 55.$

    Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.