Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Правило параллелепипеда. Разложение вектора

8-800-775-03-30 support@author24.ru

Правило параллелепипеда

Для правила сложения трех векторов рассмотрим следующую задачу.

Пример 1

Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Доказать, что $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{AC_1}$



Рисунок 1.

Доказательство.

Воспользуемся свойством правила треугольника сложения двух векторов $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$, получим:

\[\overrightarrow{AC_1}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CC_1}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CC_1}\]

Так как $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB},\ \ \overrightarrow{CC_1}=\overrightarrow{AA_1}$

То есть

\[\overrightarrow{AC_1}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA_1}\]

ч. т. д.

Готовые работы на аналогичную тему

Из этой задачи получаем следующее правило для нахождения сложения трех векторов. Чтобы найти сумму трех векторов $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\ и\ \overrightarrow{c}$ нужно от произвольной точки $O$ отложить векторы $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{c}$ и построим параллелепипед на этих векторах. Тогда вектор диагонали $\overrightarrow{AC_1}$ и будет суммой этих трех векторов. Это правило называется правилом параллелепипеда для сложения трех векторов.

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Вспомним сначала, какие векторы называются компланарными.

Определение 1

Два вектора, которые параллельны одной плоскости называются компланарными.

Теорема 1

Произвольный вектор $\overrightarrow{p}$ можно разложить по трем некомпланарным векторам $\overrightarrow{a_1},\ \overrightarrow{a_2}$ и $\overrightarrow{a_3}$ с единственными коэффициентами разложения.

Математически это можно записать следующим образом

\[\overrightarrow{p}={\alpha }_1\overrightarrow{a_1}+{\alpha }_2\overrightarrow{a_2}+{\alpha }_3\overrightarrow{a_3}\]

Доказательство.

Существование: Пусть нам даны три некомпланарных вектора $\overrightarrow{a_1},\ \overrightarrow{a_2}$ и $\overrightarrow{a_3}$. Выберем произвольную точку $O$ и построим следующие векторы:

\[\overrightarrow{a_1}=\overrightarrow{OA},\ \overrightarrow{a_2}=\overrightarrow{OB},\ \overrightarrow{a_3}=\overrightarrow{OC}\ и\ \overrightarrow{p}=\overrightarrow{OP}\]

Рассмотрим следующий рисунок:



Рисунок 2.

Произведем следующие дополнительные построения. Проведем через точку $P$ прямую, которая будет параллельна вектору $\overrightarrow{OC}$. Пусть эта прямая пересекает плоскость $OAB$ в точке $P_1$. Далее, проведем через точку $P_1$ прямую, которая будет параллельна вектору $\overrightarrow{OB}$. Пусть эта прямая пересекает прямую $OA$ в точке $P_2$ (смотри рисунок выше).

Воспользуемся свойством правила треугольника сложения двух векторов $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$, получим:

\[\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{p}=\overrightarrow{OP_2}+\overrightarrow{P_2P_1}+\overrightarrow{P_1P}\]

Так как векторы $\overrightarrow{OP_2}$ и $\overrightarrow{OA}$ коллинеарны, то

\[\overrightarrow{OP_2}={\alpha }_1\overrightarrow{OA}={\alpha }_1\overrightarrow{a_1}\]

Так как векторы $\overrightarrow{P_2P_1}$ и $\overrightarrow{OB}$ коллинеарны, то

\[\overrightarrow{P_2P_1}={\alpha }_2\overrightarrow{OB}={\alpha }_2\overrightarrow{a_2}\]

Так как векторы $\overrightarrow{P_1P}$ и $\overrightarrow{OC}$ коллинеарны, то

\[\overrightarrow{P_1P}={\alpha }_3\overrightarrow{OC}={\alpha }_3\overrightarrow{a_3}\]

Тогда, получаем, что

\[\overrightarrow{p}=\overrightarrow{OP_2}+\overrightarrow{P_2P_1}+\overrightarrow{P_1P}={\alpha }_1\overrightarrow{a_1}+{\alpha }_2\overrightarrow{a_2}+{\alpha }_3\overrightarrow{a_3}\]

Существование разложения доказано.

Единственность: Предположим противное. Пусть существует еще одно разложение вектора $\overrightarrow{p}$ по векторам $\overrightarrow{a_1},\ \overrightarrow{a_2}$ и $\overrightarrow{a_3}$:

\[\overrightarrow{p}={\alpha '}_1\overrightarrow{a_1}+{\alpha '}_2\overrightarrow{a_2}+{\alpha '}_3\overrightarrow{a_3}\]

Вычтем эти разложения друг из друга

\[\overrightarrow{p}-\overrightarrow{p}={\alpha }_1\overrightarrow{a_1}+{\alpha }_2\overrightarrow{a_2}+{\alpha }_3\overrightarrow{a_3}-{\alpha '}_1\overrightarrow{a_1}-{\alpha '}_2\overrightarrow{a_2}-{\alpha '}_3\overrightarrow{a_3}\] \[\overrightarrow{0}=\left({\alpha }_1-{{\alpha }'}_1\right)\overrightarrow{a_1}+\left({\alpha }_2-{{\alpha }'}_2\right)\overrightarrow{a_2}+({\alpha }_3-{{\alpha }'}_3)\overrightarrow{a_3}\]

Из этого получаем

\[\left\{ \begin{array}{c} {{\alpha }_1-{{\alpha }'}_1=0,} \\ {{\alpha }_2-{{\alpha }'}_2=0} \\ {{\alpha }_3-{{\alpha }'}_3=0.} \end{array} \right.\]

Следовательно

\[\left\{ \begin{array}{c} {{\alpha }_1={{\alpha }'}_1,} \\ {{\alpha }_2={{\alpha }'}_2,} \\ {{\alpha }_3={{\alpha }'}_3.} \end{array} \right.\]

Теорема доказана.

Пример задачи

Пример 2

Пусть нам дана пирамида $OABCD$. Разложите вектор $\overrightarrow{OD}$ по векторам $\overrightarrow{OA},\ \overrightarrow{OB}\ и\ \overrightarrow{OC}$.

Решение.

Так как векторы $\overrightarrow{OA},\ \overrightarrow{OB}\ и\ \overrightarrow{OC}$ - стороны пирамиды, то они являются некомпланарными векторами. Тогда, по теореме 1, вектор $\overrightarrow{OD}$ можно разложить по этим векторам, причем разложение будет единственно. Для разложения будем пользоваться свойством сложения векторов и равенством векторов.

Видим, что

\[\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AD}\] \[\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}\]

Следовательно

\[\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}\]

Ответ: $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}.$

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис