Тригонометрические формулы

Тригонометрические формулы

Тригонометрические формулы основаны на тригонометрических функциях (ТФ) углов.

Угол - есть фигура, образованная двумя двумя лучами $OA$ и $OB$ (стороны угла), исходящими из одной точки $O$ (вершина угла).

Рисунок 1.

Мерой угла служит величина поворота вокруг вершины $O$, переводящего луч $OA$ в положение $OB$.

Распространены две системы измерения углов: градусная и радианная.

В градусной системе измерения углов за единицу принимается поворот луча на $1/360$ часть одного полного оборота -- градус (обозначение ${}^\circ$). Полный оборот составляет, таким образом, $360{}^\circ$. Градус делится на 60 минут (обозначение $'$); минута -- на 60 секунд (обозначение $''$).

В радианной системе измерения углов за единицу измерения принимается острый угол ($MON$), под которым видна из центра окружности её дуга $MN$, равная радиусу ($\mathop{MN}\limits^{\cup } =OM$). Такой угол называется радианом.

Рисунок 2.

Теперь допустим, что угол $MON$ -- произвольный. Тогда радианная мера этого угла равна отношению длины дуги $\mathop{MN}\limits^{\cup }$, описанной произвольным радиусом из центра $O$ и заключенной между сторонами угла, к радиусу $OM$ этой дуги.

Мера угла считается положительной, если вращение луча (радиуса $OM$) совершается против часовой стрелки, и отрицательной -- в противном случае.

Переход от одного измерения к другому осуществляется по формулам: $\alpha {}^\circ =\frac{180}{\pi } \cdot \alpha$ или $\alpha =\frac{\pi }{180} \cdot \alpha {}^\circ$.

Полезно помнить следующую таблицу градусной и радианной меры некоторых часто встречающихся углов:

Рисунок 3.

Определение синуса, косинуса и тангенса, знаки синуса, косинуса и тангенса

ТФ острого угла можно определить из прямоугольного треугольника:

Рисунок 4.

Из этой таблицы видно, как через синус и косинус можно выразить все остальные функции: $tgA=\frac{\sin A}{\cos A}$; $ctgA=\frac{\cos A}{\sin A}$; $scA=\frac{1}{\cos A}$; $\csc A=\frac{1}{\sin A}$.

Полезно помнить значения основных ТФ для часто встречающихся значений углов:

Рисунок 5.

ТФ приписывается определенный знак в зависимости от того, в какой четверти тригонометрического круга лежит подвижный радиус $OC$, образующий угол с неподвижным радиусом $OA$:

Рисунок 6.

Обратные тригонометрические функции (ОТФ)

ОТФ называются угловые величины $y$ (в радианах), определяемые следующими равенствами и указываемые с прописной буквы:

$y=Arc\sin x$, если $x=\sin y$ -- арксинус;

$y=Arc\cos x$, если $x=\cos y$ -- арккосинус;

$y=Arctgx$, если $x=tgy$ -- арктангенс;

$y=Arcctgx$, если $x=ctgy$ -- арккотангенс.

ОТФ многозначны. Поэтому из всего множества значений каждой из них выделяют главные, а наименования указывают со строчной буквы:

Рисунок 7.

Связь между значениями ОТФ и их главными значениями представляется следующими формулами: