Пусть множества $X$ и $Y$ включены в множество действительных чисел. Введем понятие обратимой функции.
Функция $f:X\to Y$ отображающая множество $X$ в множество $Y$ называется обратимой, если для любых элементов $x_1,x_2\in X$ из того что $x_1\ne x_2$ следует, что $f(x_1)\ne f(x_2)$.
Теперь мы можем ввести понятие обратной функции.
Пусть функция $f:X\to Y$ отображающая множество $X$ в множество $Y$ обратима. Тогда функция $f^{-1}:Y\to X$ отображающая множество $Y$ в множество $X$ определяемая условием $f^{-1}\left(y\right)=x$ называется обратной для $f(x)$.
Сформулируем теорему:
Пусть функция $y=f(x)$ определена, монотонно возрастает (убывает) и непрерывна в некотором промежутке $X$. Тогда в соответствующем промежутке $Y$ значений этой функции у нее существует обратная функция, которая также монотонно возрастает (убывает) и непрерывна на промежутке $Y$.
Введем теперь, непосредственно, понятие взаимно обратных функций.
В рамках определения 2, функции $f(x)$ и $f^{-1}\left(y\right)$ называются взаимно обратными функциями.
Свойства взаимно обратных функций
Пусть функции $y=f(x)$ и $x=g(y)$ взаимно обратные, тогда
-
$y=f(g\left(y\right))$ и $x=g(f(x))$
-
Область определения функции $y=f(x)$ равна области значения функции$\ x=g(y)$. А область определения функции $x=g(y)$ равна области значения функции$\ y=f(x)$.
-
Графики функций $y=f(x)$ и $x=g(y)$ симметричны относительно прямой $y=x$.
-
Если одна из функций возрастает (убывает), то и другая функция возрастает (убывает).
Нахождение обратной функции
-
Решается уравнение $y=f(x)$ относительно переменной $x$.
-
Из полученных корней находят те, которые принадлежат промежутку $X$.
-
Найденные $x$ ставят в соответствия числу $y$.
Найти обратную функцию, для функции $y=x^2$ на промежутке $X=[-1,0]$
Так как эта функция убывает и непрерывна на промежутке $X$, то на промежутке $Y=[0,1]$, которая также убывает и непрерывна на этом промежутке (теорема 1).
Вычислим $x$:
\[y=x^2\] \[x=\pm \sqrt{y}\]Выбираем подходящие $x$:
\[x=-\sqrt{y}\]Ответ: обратная функция $y=-\sqrt{x}$.
Задачи на нахождение обратных функций
В этой части рассмотрим обратные функции для некоторых элементарных функций. Задачи будем решать по схеме, данной выше.
Найти обратную функцию для функции $y=x+4$
Решение.
Так как функция возрастает и непрерывна на всей области определения, то, по теореме 1, она имеет на ней обратную непрерывную и возрастающую функцию.
-
Найдем $x$ из уравнения $y=x+4$:
\[y=x+4\] \[x=y-4\] -
Находим подходящие значения $x$
Значение в нашем случае подходит (так как область определения -- все числа)
-
Переопределим переменные, получим, что обратная функция имеет вид
\[y=x-4\]
Найти обратную функцию для функции $y=x^3$
Решение.
Так как функция возрастает и непрерывна на всей области определения, то, по теореме 1, она имеет на ней обратную непрерывную и возрастающую функцию.
-
Найдем $x$ из уравнения $y=x^3$:
\[y=x^3\] \[x=\sqrt[3]{y}\] -
Находим подходящие значения $x$
Значение в нашем случае подходит (так как область определения -- все числа)
-
Переопределим переменные, получим, что обратная функция имеет вид
\[y=\sqrt[3]{x}\]
Найти обратную функцию для функции $y=cosx$ на промежутке $[0,\pi ]$
Решение.
Рассмотрим на множестве $X=\left[0,\pi \right]$ функцию $y=cosx$. Она непрерывна и убывает на множестве $X$ и отображает множество $X=\left[0,\pi \right]$ на множество $Y=[-1,1]$, поэтому по теореме о существовании обратной непрерывной монотонной функции у функции $y=cosx$ в множестве $Y$ существует обратная функция, которая также непрерывна и возрастает в множестве $Y=[-1,1]$ и отображает множество $[-1,1]$ на множество $\left[0,\pi \right]$.
-
Найдем $x$ из уравнения $y=cosx$:
\[y=cosx\] \[x=\pm arccosy+2\pi n,n\in Z\] -
Находим подходящие значения $x$
\[x=arccosy\] -
Переопределим переменные, получим, что обратная функция имеет вид
\[y=arccosx\]
Найти обратную функцию для функции $y=tgx$ на промежутке $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$.
Решение.
Рассмотрим на множестве $X=\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ функцию $y=tgx$. Она непрерывна и возрастает на множестве $X$ и отображает множество $X=\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ на множество $Y=R$, поэтому по теореме о существовании обратной непрерывной монотонной функции у функции $y=tgx$ в множестве $Y$ существует обратная функция, которая также непрерывна и возрастает в множестве $Y=R$ и отображает множество $R$ на множество $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$
-
Найдем $x$ из уравнения $y=tgx$:
\[y=tgx\] \[x=arctgy+\pi n,n\in Z\] -
Находим подходящие значения $x$
\[x=arctgy\] -
Переопределим переменные, получим, что обратная функция имеет вид
\[y=arctgx\]
