Взаимно обратные функции

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Пусть множества $X$ и $Y$ включены в множество действительных чисел. Введем понятие обратимой функции.

Определение 1

Функция $f:X\to Y$ отображающая множество $X$ в множество $Y$ называется обратимой, если для любых элементов $x_1,x_2\in X$ из того что $x_1\ne x_2$ следует, что $f(x_1)\ne f(x_2)$ .

Теперь мы можем ввести понятие обратной функции.

Определение 2

Пусть функция $f:X\to Y$ отображающая множество $X$ в множество $Y$ обратима. Тогда функция $f^{-1}:Y\to X$ отображающая множество $Y$ в множество $X$ определяемая условием $f^{-1}\left(y\right)=x$ называется обратной для $f(x)$ .

Сформулируем теорему:

Теорема 1

Пусть функция $y=f(x)$ определена, монотонно возрастает (убывает) и непрерывна в некотором промежутке $X$ . Тогда в соответствующем промежутке $Y$ значений этой функции у нее существует обратная функция, которая также монотонно возрастает (убывает) и непрерывна на промежутке $Y$ .

Введем теперь, непосредственно, понятие взаимно обратных функций.

Определение 3

В рамках определения 2, функции $f(x)$ и $f^{-1}\left(y\right)$ называются взаимно обратными функциями.

Свойства взаимно обратных функций

Пусть функции $y=f(x)$ и $x=g(y)$ взаимно обратные, тогда

$y=f(g\left(y\right))$ и $x=g(f(x))$
Область определения функции $y=f(x)$ равна области значения функции $\ x=g(y)$ . А область определения функции $x=g(y)$ равна области значения функции $\ y=f(x)$ .
Графики функций $y=f(x)$ и $x=g(y)$ симметричны относительно прямой $y=x$ .
Если одна из функций возрастает (убывает), то и другая функция возрастает (убывает).

«Взаимно обратные функции» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Помощь с рефератом от нейросети

Написать ИИ

Нахождение обратной функции

Решается уравнение $y=f(x)$ относительно переменной $x$ .
Из полученных корней находят те, которые принадлежат промежутку $X$ .
Найденные $x$ ставят в соответствия числу $y$ .

Пример 1

Найти обратную функцию, для функции $y=x^2$ на промежутке $X=[-1,0]$

Так как эта функция убывает и непрерывна на промежутке $X$ , то на промежутке $Y=[0,1]$ , которая также убывает и непрерывна на этом промежутке (теорема 1).

Вычислим $x$ :

$y=x^2$

$x=\pm \sqrt{y}$

Выбираем подходящие $x$ :

$x=-\sqrt{y}$

Ответ: обратная функция $y=-\sqrt{x}$ .

Задачи на нахождение обратных функций

В этой части рассмотрим обратные функции для некоторых элементарных функций. Задачи будем решать по схеме, данной выше.

Пример 2

Найти обратную функцию для функции $y=x+4$

Решение.

Так как функция возрастает и непрерывна на всей области определения, то, по теореме 1, она имеет на ней обратную непрерывную и возрастающую функцию.

Найдем $x$ из уравнения $y=x+4$ :
$y=x+4$ $x=y-4$
Находим подходящие значения $x$

Значение в нашем случае подходит (так как область определения -- все числа)
Переопределим переменные, получим, что обратная функция имеет вид
$y=x-4$

Пример 3

Найти обратную функцию для функции $y=x^3$

Решение.

Найдем $x$ из уравнения $y=x^3$ :
$y=x^3$ $x=\sqrt[3]{y}$
Находим подходящие значения $x$

Значение в нашем случае подходит (так как область определения -- все числа)
Переопределим переменные, получим, что обратная функция имеет вид
$y=\sqrt[3]{x}$

Пример 4

Найти обратную функцию для функции $y=cosx$ на промежутке $[0,\pi ]$

Решение.

Рассмотрим на множестве $X=\left[0,\pi \right]$ функцию $y=cosx$ . Она непрерывна и убывает на множестве $X$ и отображает множество $X=\left[0,\pi \right]$ на множество $Y=[-1,1]$ , поэтому по теореме о существовании обратной непрерывной монотонной функции у функции $y=cosx$ в множестве $Y$ существует обратная функция, которая также непрерывна и возрастает в множестве $Y=[-1,1]$ и отображает множество $[-1,1]$ на множество $\left[0,\pi \right]$ .

Найдем $x$ из уравнения $y=cosx$ :
$y=cosx$ $x=\pm arccosy+2\pi n,n\in Z$
Находим подходящие значения $x$
$x=arccosy$
Переопределим переменные, получим, что обратная функция имеет вид
$y=arccosx$

Пример 5

Найти обратную функцию для функции $y=tgx$ на промежутке $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ .

Решение.

Рассмотрим на множестве $X=\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ функцию $y=tgx$ . Она непрерывна и возрастает на множестве $X$ и отображает множество $X=\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ на множество $Y=R$ , поэтому по теореме о существовании обратной непрерывной монотонной функции у функции $y=tgx$ в множестве $Y$ существует обратная функция, которая также непрерывна и возрастает в множестве $Y=R$ и отображает множество $R$ на множество $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$