Взаимно обратные функции

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Пусть множества $X$ и $Y$ включены в множество действительных чисел. Введем понятие обратимой функции.

Определение 1

Функция $f:X\to Y$ отображающая множество $X$ в множество $Y$ называется обратимой, если для любых элементов $x_1,x_2\in X$ из того что $x_1\ne x_2$ следует, что $f(x_1)\ne f(x_2)$.

Теперь мы можем ввести понятие обратной функции.

Определение 2

Пусть функция $f:X\to Y$ отображающая множество $X$ в множество $Y$ обратима. Тогда функция $f^{-1}:Y\to X$ отображающая множество $Y$ в множество $X$ определяемая условием $f^{-1}\left(y\right)=x$ называется обратной для $f(x)$.

Сформулируем теорему:

Теорема 1

Пусть функция $y=f(x)$ определена, монотонно возрастает (убывает) и непрерывна в некотором промежутке $X$. Тогда в соответствующем промежутке $Y$ значений этой функции у нее существует обратная функция, которая также монотонно возрастает (убывает) и непрерывна на промежутке $Y$.

Введем теперь, непосредственно, понятие взаимно обратных функций.

Определение 3

В рамках определения 2, функции $f(x)$ и $f^{-1}\left(y\right)$ называются взаимно обратными функциями.

Свойства взаимно обратных функций

Пусть функции $y=f(x)$ и $x=g(y)$ взаимно обратные, тогда

$y=f(g\left(y\right))$ и $x=g(f(x))$
Область определения функции $y=f(x)$ равна области значения функции$\ x=g(y)$. А область определения функции $x=g(y)$ равна области значения функции$\ y=f(x)$.
Графики функций $y=f(x)$ и $x=g(y)$ симметричны относительно прямой $y=x$.
Если одна из функций возрастает (убывает), то и другая функция возрастает (убывает).

«Взаимно обратные функции» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Помощь с рефератом от нейросети

Написать ИИ

Нахождение обратной функции

Решается уравнение $y=f(x)$ относительно переменной $x$.
Из полученных корней находят те, которые принадлежат промежутку $X$.
Найденные $x$ ставят в соответствия числу $y$.

Пример 1

Найти обратную функцию, для функции $y=x^2$ на промежутке $X=[-1,0]$

Так как эта функция убывает и непрерывна на промежутке $X$, то на промежутке $Y=[0,1]$, которая также убывает и непрерывна на этом промежутке (теорема 1).

Вычислим $x$:

\[y=x^2\] \[x=\pm \sqrt{y}\]

Выбираем подходящие $x$:

\[x=-\sqrt{y}\]

Ответ: обратная функция $y=-\sqrt{x}$.

Задачи на нахождение обратных функций

В этой части рассмотрим обратные функции для некоторых элементарных функций. Задачи будем решать по схеме, данной выше.

Пример 2

Найти обратную функцию для функции $y=x+4$

Решение.

Так как функция возрастает и непрерывна на всей области определения, то, по теореме 1, она имеет на ней обратную непрерывную и возрастающую функцию.

Найдем $x$ из уравнения $y=x+4$:
\[y=x+4\] \[x=y-4\]
Находим подходящие значения $x$

Значение в нашем случае подходит (так как область определения -- все числа)
Переопределим переменные, получим, что обратная функция имеет вид
\[y=x-4\]

Пример 3

Найти обратную функцию для функции $y=x^3$

Решение.

Найдем $x$ из уравнения $y=x^3$:
\[y=x^3\] \[x=\sqrt[3]{y}\]
Находим подходящие значения $x$

Значение в нашем случае подходит (так как область определения -- все числа)
Переопределим переменные, получим, что обратная функция имеет вид
\[y=\sqrt[3]{x}\]

Пример 4

Найти обратную функцию для функции $y=cosx$ на промежутке $[0,\pi ]$

Решение.

Рассмотрим на множестве $X=\left[0,\pi \right]$ функцию $y=cosx$. Она непрерывна и убывает на множестве $X$ и отображает множество $X=\left[0,\pi \right]$ на множество $Y=[-1,1]$, поэтому по теореме о существовании обратной непрерывной монотонной функции у функции $y=cosx$ в множестве $Y$ существует обратная функция, которая также непрерывна и возрастает в множестве $Y=[-1,1]$ и отображает множество $[-1,1]$ на множество $\left[0,\pi \right]$.

Найдем $x$ из уравнения $y=cosx$:
\[y=cosx\] \[x=\pm arccosy+2\pi n,n\in Z\]
Находим подходящие значения $x$
\[x=arccosy\]
Переопределим переменные, получим, что обратная функция имеет вид
\[y=arccosx\]

Пример 5

Найти обратную функцию для функции $y=tgx$ на промежутке $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$.

Решение.

Рассмотрим на множестве $X=\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ функцию $y=tgx$. Она непрерывна и возрастает на множестве $X$ и отображает множество $X=\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ на множество $Y=R$, поэтому по теореме о существовании обратной непрерывной монотонной функции у функции $y=tgx$ в множестве $Y$ существует обратная функция, которая также непрерывна и возрастает в множестве $Y=R$ и отображает множество $R$ на множество $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$