Основные понятия о случайных величинах
Математической моделью стохастического (вероятностного) эксперимента является вероятностное пространство $\{ \Omega ,{\rm A},P\} $. Его объекты $\Omega$, ${\rm A}$ (или ${\rm F}$), P составляют аксиоматику Колмогорова:
- $\Omega$ -- пространство элементарных случайных событий (выборочное пространство). Является начальным объектом при формализации любого вероятностного эксперимента и, следовательно, не определяемым. Рассматривались $\Omega$, состоящие из конечного или счетного числа элементарных событий. В общем случае, физическая природа элементарных событий пространства $\Omega$ для нас не существенна.
- ${\rm A}$ -- алгебра случайных событий. Элементы ${\rm A}$ - всевозможные подмножества (случайные события) пространства $\Omega$ (включая невозможное событие $\emptyset$ и само $\Omega$). Если число элементов $\Omega$ счетно, то говорят о $\sigma$-алгебре ${\rm F}$ событий. Более сложные случаи не рассматривались.
- P -- вероятностная мера или распределение вероятностей, заданная на подмножествах пространства $\Omega$. По определению $P(\Omega )=1$ (условие нормировки).
Для вероятности выполняется свойство аддитивности, т.е. если события $A_{1} $, $A_{2} $, $\dots$ , $A_{n} $$\subset$${\rm A}$ попарно несовместны, то
Рассмотрение задач для определения понятия случайной величины
Симметричная монета подбрасывается n раз. Описать вероятностное пространство.
Решение. Пространство элементарных событий $\Omega =\{ \omega :{\rm \; }\omega _{i} =(\delta _{1}^{} ,\delta _{2}^{} ,...,\delta _{j}^{} ,...,\delta _{n}^{} )\} $, где $\delta _{j}^{} $ принимает значение 1 (выпал герб) или 0 (не выпал герб). Элементарные события интерпретируются как n-мерный вектор с координатами равными 0 и 1, число которых равно $2^{n} $, $i=1,2,3,...,2^{n} $.
Алгебра ${\rm A}$ событий состоит из всех подмножеств пространства $\Omega$, число которых - $2^{2^{n} } $. Алгебра замкнута относительно основных теоретико-множественных операций (объединение, пересечение, разность и дополнение).
Распределение вероятностей P, в силу равновозможности всех исходов, $P(\Omega )=\sum \limits _{i=1}^{2^{n} }P(\omega _{i} ) =\sum \limits _{i=1}^{2^{n} }\frac{1}{2^{n} } =1$. Вероятностное пространство описано.
Из примера видно, что принципиальных проблем с построением вероятностного пространства для такого класса задач, за исключением технических трудностей, не возникает. В сущности, здесь достаточно аксиомы 3, аддитивности вероятности. Сложности возникают тогда, когда появляются задачи с очень большим числом возможных исходов эксперимента или например, некоторые исходы эксперимента могут не представлять практического интереса, а их вероятности приходится вычислять, допустим, статистическим путем. Может оказаться, что каждый такой исход имеет исчезающе малую вероятность, которую трудно оценить. Трудности становятся принципиальными, когда речь идет о задачах, в которых число возможных исходов эксперимента неограниченно. Наконец, число исходов эксперимента может быть более чем счетно, например, иметь мощность континуум и даже больше (как например, пространство всех случайных функций).
Рассмотрим эксперимент с подбрасыванием симметричной монеты при $n\to \infty $. Пространство элементарных событий $\Omega =\{ \omega :{\rm \; }\omega _{i} =(\delta _{1}^{} ,\delta _{2}^{} ,...,\delta _{n}^{} ,...)\} $. Элементарные события будем интерпретировать как множество всех последовательностей, члены которых равны 0 или 1.
Возьмем полуинтервал $[0,{\rm \; }1)$. Известно, что любое его число однозначно представимо в двоичной системе последовательностью нулей и единиц. Но множество чисел из $[0,{\rm \; }1)$ имеет мощность континуум, следовательно, в силу взаимной однозначности, множество всех последовательностей также имеет мощность континуум.
Таким образом, задача с бесконечным подбрасыванием симметричной монеты свелась к задаче о случайном выборе действительного числа из промежутка $[0,{\rm \; }1)$.
Имеем $\Omega =[0,{\rm \; }1)$; положим $P(\Omega )=1$. Очевидно, что вероятность выбора конкретного числа из $[0,{\rm \; }1)$ равна 0, то есть $\forall \omega \in \Omega $, $p(\omega )=0$. Ясно, что из такого подхода что-либо содержательное извлечь трудно.
Из примеров следует, что пространство $\Omega$ может состоять из счетного (конечного или бесконечного) числа элементов, иметь мощность континуум и даже больше, то есть множество точек достаточно общего вида. Но и отказаться от модели случайного выбора точки из промежутка было бы неразумно, поскольку у нас есть алгебра случайных событий, элементами которой являются подмножества $[0,{\rm \; }1)$. Ясно, что обобщения состоят в рассмотрении не отдельных точек, а их множества (различных интервалов или полуинтервалов) $[\alpha ,\beta )\subset [0,{\rm \; }1]$, $\alpha \le \beta $, где каждый интервал содержит только те точки, которые объединены общим признаком. Тогда за вероятность можно взять длину интервала. Это означает, что вероятность является функцией длины (меры) интервала. Заметим, что здесь мы имеем отображение (функцию), элементами которого являются не точки, а множества точек.
Множество, элементами которого являются какие-либо другие множества, называется системой множеств.
Алгебра и $\sigma$-алгебра событий являются примерами системы множеств.
Точка наудачу бросается в промежуток $[0,{\rm \; }1]$. Общий признак - попадание в отрезок $[0,{\rm \; \; }1/2)$. Интуитивно ясно, что вероятность такого события равна 1/2, хотя при прямом суммировании вероятностей всех элементарных событий из интервала $[0,{\rm \; \; }1/2)$ получим 0.
Для пространств $\Omega$ с более чем счетным числом точек для вычисления вероятностей используется свойство непрерывности интервала, а вероятность события есть функция длины того интервала, точки которого и образуют это событие (за исключением не более чем счетного числа точек). Ясно, что множества (подынтервалы), на которых задаются вероятности, должны быть замкнуты относительно основных теоретико-множественных операций (объединение, пересечение и дополнение). Кроме того, мы должны ввести понятие функции множеств, областью определения которой является система множеств (алгебра или $\sigma$-алгебра).
Рассмотрим эксперимент, состоящий в n-кратном подбрасывании, вообще говоря, несимметричной монеты, с вероятностью выпадения герба -- p. Из практических соображений обычно нас интересует вероятность не выпадения, например, 2-х гербов после 16-го и 19-го подбрасывания из 100, а просто выпадение 2-х или 3-х и так далее гербов в n испытаниях. Такой подход позволяет задать на $\Omega$ функцию $\xi =\varphi (\omega )$, где значения $\xi =k$, k -- число выпадений герба в n независимых испытаниях, $k=0,1,...,n$. Выберем из алгебры ${\rm A}$ те подмножества (случайные события), которые соответствуют значению $\xi =k$. Тогда $P(\xi =k)=C_{n}^{k} \cdot p^{k} \cdot (1-p)^{n-k} $. Введение функции $\xi =\varphi (\omega )$ позволило значительно упростить вычисление вероятностей интересующих нас событий. В сущности, получив необходимую информацию из элементарных событий $\Omega$, построим другое пространство $\Omega '$, состоящее из (n+1) элемента с распределением вероятностей $P(\Omega ')=\sum \limits _{k=0}^{n}C_{n}^{k} \cdot p^{k} \cdot (1-p)^{n-k} =1$.
Введенная функция $\xi =\varphi (\omega )$ обладает специфическим свойством: по заданному значению функции ($\xi =k$) мы определяем множество $A_{k} =\{ \omega \} $ значений аргумента (элементарных событий, число которых, в нашем случае, равно $C_{n}^{k} $, далее находим $P(A_{k} )=C_{n}^{k} \cdot p^{k} \cdot (1-p)^{n-k} $). В теории вероятностей такие функции имеют фундаментальное значение, относятся к свойствам вероятностного пространства и называются случайными величинами.
Действительная функция $\xi =\varphi (\omega )$ определенная на измеримом пространстве $\{ \Omega ,{\rm F}\} $ называется измеримой или случайной величиной, если
\[\forall B\subset B(R):{\rm \; \; }\{ \omega :{\rm \; \; }\varphi (\omega )\subset B\} \subset {\rm F}\]или прообраз $f^{-1} (B)={\rm \; }\{ \omega :{\rm \; \; }\varphi (\omega )\subset B\} $
является измеримым множеством в $\Omega$.
