Рассмотрим частный случай функционального ряда, так называемый степенной ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n} (x)$, где $u_{n} (x)=a_{n} (x-x_{0} )^{n} $.
Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида $a_{0} +a_{1} (x-x_{0} )+a_{2} (x-x_{0} )^{2} +....+a_{n} (x-x_{0} )^{n} +...=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n} ( x-x_{0} )^{n} $,
где $a_{0} ,\, \, a_{1} ,\, \, a{2} ,\, \, ...$ - постоянные числа, называемые коэффициентами ряда.
Степенной ряд есть «бесконечный многочлен», расположенный по возрастающим степеням $(x-x_{0} )$. Любой числовой ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n} $ являетсячастным случаем степенного ряда при $x-x_{0} =1$.
Рассмотрим частный случай степенного ряда при $x_{0} =0$: $\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n} x^{n} =a_{0} +a_{1} x+a_{2} x^{2} +....+a_{n} x^{n} +...$. Выясним, какой вид имеетобласть сходимости данного ряда $D(x)$.
Теорема Абеля.
1) Если степенной ряд $\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n} x^{n} $ сходится в точке $x={\rm \alpha }\, \, ({\rm \alpha }\ne 0)$, то он абсолютно сходится при всяком х, для которого справедливо неравенство $\left|x\right|\left|{\rm \beta }\right|$.
Следствие. Теорема Абеля позволяет судить о расположении точки сходимости степенного ряда. Если точка $x={\rm \alpha }\ne 0$ является точкой сходимости степенного ряда, то интервал $(-\left|{\rm \alpha }\right|;\left|{\rm \alpha }\right|)$ заполнен точками сходимости; если точкой расходимости является точка $x={\rm \beta }$, тобесконечные интервалы $(-\infty ;\, -\left|{\rm \beta }\right|),\, \, \, (\left|{\rm \beta }\right|,\infty )$ заполнены точками расходимости (рис. 1).
Рисунок 1. Интервалы сходимости и расходимости ряда
Можно показать, что существует такое число $R>0$, что при всех $\left|x\right|R$ - расходится. Будем считать, что если ряд сходится только в одной точке 0, то $R=0$, а если ряд сходится при всех $x\in (-\infty ,+\infty )$, то $R=\infty $.
Интервалом сходимости степенного ряда $\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n} x^{n} $ называется такой интервал $(-R,\, \, R)$, что при всех $x\in (-R,\, \, R)$ этот ряд сходится и притом абсолютно, а для всех х, лежащих вне этого интервала, ряд расходится. Число $R$ называется радиусом сходимости степенного ряда.
На концах интервала $(-R,\, \, R)$ вопрос о сходимости или расходимости степенного ряда решается отдельно для каждого конкретного ряда.
Покажем один из способов определения интервала и радиуса сходимости степенного ряда.
Рассмотрим степенной ряд $\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n} x^{n} $ и обозначим $a_{n} \cdot x^{n} =u_{n} $.
Составим ряд из абсолютных величин его членов:
\[\sum \limits _{n=0}^{\infty }\, \left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=0}^{\infty }\left|a_{n} \right. \left. x^{n} \right|=\left|a_{0} \right|+\left|a_{1} x\right|+\left|a_{2} x^{2} \right|+....+\left|a_{n} x^{n} \right|+...\]и применим к нему признак Даламбера.
Пусть существует
\[\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \, \left|\frac{u_{n+1} }{u_{n} } \right|=\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \, \left|\frac{a_{n+1} x^{n+1} }{a_{n} x^{n} } \right|=\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \, \left(\left|\frac{a_{n+1} }{a_{n} } \right|\cdot \left|x\right|\right)=\left|x\right|\cdot \mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \, \left|\frac{a_{n+1} }{a_{n} } \right|=l\cdot \left|x\right|,\]где $l=\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \, \left|\frac{a_{n+1} }{a_{n} } \right|,\, \, \, l\ne 0$.
По признаку Даламбера ряд сходится, если $l\cdot \left|x\right|1$. Отсюда ряд сходится при $\left|x\right|\frac{1}{l} $ ряд расходится, так как $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \, \left|\frac{u_{n+1} }{u_{n} } \right|>1$.
Используя обозначение $R=\frac{1}{l} $, получим формулу для определения радиуса сходимости степенного ряда:
$\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \, \left|\frac{a_{n+1} }{a_{n} } \right|=\frac{1}{R} $, где $a_{n,} \, a_{n+1} $ - коэффициенты степенного ряда.
Если окажется, что предел $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \, \left|\frac{a_{n+1} }{a_{n} } \right|=l=0$, то, полагаем, $R=\infty $.
Для определения интервала и радиуса сходимости степенного ряда также можно использовать радикальный признак Коши, радиус сходимости ряда определяется из соотношения $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \, \sqrt[{n}]{\left|a_{n} \right|} =\frac{1}{R} $.
Обобщенным степенным рядом называется ряд вида
$\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n} (x-x_{0} )^{n} $. Его также называют рядом по степеням $(x-x_{0} )$. Для такого ряда интервал сходимости имеет вид: $\, \, (x_{0} -R,\, x_{0} +R)$, где $R\ge 0$ - радиус сходимости.
Свойства степенных рядов
Рассмотрим степенной ряд $\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n} x^{n} $, у которого интервал сходимости $(-R;\, R)$, тогда сумма степенного ряда $S(x)$ определена для всех $x\in (-R;R)$ и можно записать равенство $S(x)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n} x^{n} $.
Свойство 1. Степенной ряд $\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n} x^{n} $ сходится абсолютно в любом промежутке $[a;b]\, \, \subset \, (-R;R)$, лежащем в интервале сходимости, причём сумма степенного ряда $S(x)$ является непрерывной функцией при всех $x\in [a;b]$.
Свойство 2. Если отрезок $[a;b]\, \, \subset \, (-R;R)$, то степенной ряд можнопочленно интегрировать от a до b, т.е. если
$S(x)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n} x^{n} =a_{0} +a_{1} x+a_{2} x^{2} +...$, то
$\int \limits _{a}^{b}S(x)\, {\rm d}x =\sum \limits _{n=0}^{\infty }\int \limits _{a}^{b}a_{n} x^{n} \, {\rm d}x=\int \limits _{a}^{b}a_{0} {\rm d}x +\int \limits _{a}^{b}a_{1} x\, {\rm d}x +...+\int \limits _{a}^{b}a_{n} x^{n} \, {\rm d}x +...$.
При этом радиус сходимости не меняется:
где $a'_{n} =\frac{a_{n} }{n+1} $ - коэффициенты проинтегрированного ряда.
Свойство 3. Сумма степенного ряда это функция, имеющая внутри интервала сходимости производные любого порядка. Производные от суммы степенного ряда будут суммами рядов, полученных из данного степенного ряда почленным дифференцированием соответствующее число раз, причём радиусы сходимости таких рядов будут те же, что и у исходного ряда.
Если $S(x)=a_{0} +a_{1} x+a_{2} x^{2} +...+a_{n} x^{n} +...=\sum \limits _{n=0}^{\infty }\, a_{n} \cdot x^{n} $,
то $S'(x)=a_{1} +2a_{2} x+...+na_{n} x^{n-1} +...=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, n\cdot a_{n} \cdot x^{n-1} $,
$S''(x)=2a_{2} +6a_{3} x+...+n(n-1)a_{n} x^{n-2} +...=\sum \limits _{n=2}^{\infty }\, n\cdot (n-1)\cdot a_{n} \cdot x^{n-2} $, ... , и т.д.
Найти область сходимости ряда $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \frac{(x+1)^{n} }{n\cdot 5^{n} } \, $.
Решение. Обозначим $\frac{(x+1)^{n} }{n\cdot 5^{n} } =u_{n} (x)$.
Составим предел
\[\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \, \left|\frac{u_{n+1} (x)}{u_{n} (x)} \right|=\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \, \frac{\left|x+1\right|^{n+1} \cdot 5^{n} \cdot n}{(n+1)\cdot 5^{n+1} \cdot \left|x+1\right|^{n} } =\left|x+1\right|\cdot \mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \, \frac{n}{5(n+1)} =\frac{\left|x+1\right|}{5} .\]Решаем неравенство: $\frac{\left|x+1\right|}{5}
-
$x=4$, $u_{n} (4)=\frac{1}{n} $, получаем ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \frac{1}{n} \, $, который расходится;
-
$x=-6$, $u_{n} (-6)=\frac{(-1)^{n} }{n} $, получаем ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \, \frac{(-1)^{n} }{n} $, который сходится условно.
Таким образом, область сходимости: $[-6;\, 4)$, $R=5$.
Ответ: область сходимости $[-6;\, 4)$.
Ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, (nx)^{n} $ расходится для всех $x\ne 0$, так как $(nx)^{n} \to \infty $ при $n\to \infty $, радиус сходимости $R=0$.
Ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \frac{x^{n} }{n!} \, $ сходится при всех $x\in $R, радиус сходимости $R=\infty $.
