Разложение функций в ряды

Рассмотрим важную задачу, которая решается в теории функциональных рядов: по заданной функции найти сходящийся функциональный ряд того или иного типа, сумма которого в области сходимости равнялась бы заданной функции. Такая задача называется разложением функции в ряд, например, степенной.

Пусть функция$y=f(x)$ определена в некоторой окрестности точки $х0$: $U_{{\rm \delta }} (x_{0} )=(x_{0} -{\rm \delta },\, \, x_{0} +{\rm \delta })$, где ${\rm \delta }>0$, причём в этой окрестности функция имеет все производные до $(n+1)$-го порядка.

Задача: Подберём многочлен $n$-й степени.

$P_{n} (x)=c_{0} +c_{1} (x-x_{0} )+c_{2} (x-x_{0} )^{2} +....+c_{n} (x-x_{0} )^{n} $ по степеням $(x-x_{0} )$ так, чтобы в точке $х_{0}$ совпадали значения $P_{n} (x)$ и $f(x)$, а также значения их производных до ($n+1$)-го порядка включительно. Тогда считаем, что в окрестности точки $х_0$ такой многочлен $P_{n} (x)$ будет приближать данную функцию с некоторой точностью.

Коэффициенты многочлена $c_{0} ,\, \, c_{1} ,\, \, c_{2} ,...,\, \, c_{n} $ являются неопределенными коэффициентами, которые необходимо найти исходя из следующих условий:

$f(x_{0} )=P_{n} (x_{0} )$, $f'(x_{0} )=P'_{n} (x_{0} )$, $f''(x_{0} )=P''_{n} (x_{0} )$, $...$ , $f^{(n)} (x_{0} )=P_{n}^{(n)} (x_{0} )$.

Для нахождения этих коэффициентов найдём производные до $n$-го порядка от $P_{n} (x)$:

$...$

$P_{n}^{(n+1)} (x)=0$, при всех $x\in R$.

Подставим в эти соотношения $x=x_{0} $ и приравняем $f^{(k)} (x_{0} )=P_{n}^{(k)} (x_{0} )$, где $k=0,\, 1,\, 2,\, 3,\, ...,\, n$:

$f'''(x_{0} )=P'''_{n} \, (x_{0} )=2\cdot 3\cdot c_{3} $, $...$ $f^{(n)} (x_{0} )=P_{n}^{(n)} (x_{0} )=c_{n} \cdot n!$.

Находим выражения для $c_{0} ,\, \, c_{1} ,\, \, c_{2} ,...,\, \, c_{n} $, решая полученную систему уравнений:

Получаем общую формулу для определения коэффициентов многочлена $c_{k} $:

$c_{k} =\frac{f^{(k)} (x_{0} )}{k!} $, $k=0,\, 1,\, 2,\, 3,\, ...,\, n$. (1)

Тогда многочлен примет следующий вид: $P_{n} (x)=f(x_{0} )+f'(x_{0} )(x-x_{0} )+\, ...+\frac{f^{(n)} (x_{0} )}{n!} (x-x_{0} )^{n} =\sum \limits _{k=0}^{n}\frac{f^{(k)} (x_{0} )}{k!} (x-x_{0} )^{k} $.

Этот многочлен называется многочленом Тейлора для функции $f(x)$ по степеням $(x-x_{0} )$, где $c_{k} =\frac{f^{(k)} (x_{0} )}{k!} $ называются коэффициентами многочлена Тейлора, $k=\overline{0,n}$.

Таким образом, для каждой функции $f(x)$, удовлетворяющей поставленным условиям при $x\in U_{{\rm \delta }} (x_{0} )$, можно найти многочлен Тейлора $P_{n} (x)$ (в точке $х_0$ функция$f(x)$ и многочлен $P_{n} (x)$ совпадают со своими производными до $n$-го порядка).

Разность $f(x)-P_{n} (x)$, обозначенную через $R_{n} (x)$, называют остаточным членом формулы Тейлора, которая имеет вид:

$f(x)=P_{n} (x)+R_{n} (x)=\sum \limits _{k=0}^{n}\frac{f^{(k)} (x_{0} )}{k!} (x-x_{0} )^{k} +R_{n} (x)$ (2)

Формула (2) называется формулой Тейлора для функции $f(x)$ по степеням $(x-x_{0} )$ порядка $n$. Отметим, что

Величина остаточного члена формулы Тейлора $R_{n} (x)$ играет важную роль в оценке точности приближения заданной функции многочленом Тейлора. Существует два вида остаточных членов.

1. Остаточный член в форме Пеано. Преобразуем остаточный член формулы Тейлора, используя некоторые понятия из теории пределов.

• Функция ${\rm \alpha }(x)$ называется бесконечно малой при $x\to x_{0} $, если $\mathop{\lim }\limits_{x\to x_{0} } \, {\rm \alpha }(x)=0$.

• Бесконечно малая функция ${\rm \beta }(x)$ называется бесконечно малой более высокого порядка малости относительно бесконечно малой функции ${\rm \alpha }(x)$ при $x\to x_{0} $, если существует $\mathop{\lim }\limits_{x\to x_{0} } \, \, \frac{{\rm \beta }(x)}{{\rm \alpha }(x)} =0$ и записывается следующим образом: ${\rm \beta }=o({\rm \alpha })$ (что читается так: «$\beta $ есть о малое от $\alpha $).

Рассмотрим формулу Тейлора для функции $f(x)$ по степеням $(x-x_{0} )$порядка $n$: $f(x)=P_{n} (x)+R_{n} (x)=\sum \limits _{k=0}^{n}\frac{f^{(k)} (x_{0} )}{k!} (x-x_{0} )^{k} +R_{n} (x)$.

Остаточный член в формуле Тейлора имеет вид: $R_{n} (x)=f(x)-P_{n} (x)$.

Из построения многочлена Тейлора следует $R_{n} (x_{0} )=R'_{n} (x_{0} )=R''_{n} (x_{0} )=...=R_{n}^{(n)} (x_{0} )=0.$Тогда $\mathop{\lim }\limits_{x\to x_{0} } \, \frac{R_{n} (x)}{(x-x_{0} )^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{x\to x_{0} } \, \frac{R'_{n} (x)}{n\cdot (x-x_{0} )^{n-1} } =...=\mathop{\lim }\limits_{x\to x_{0} } \, \frac{R_{n}^{(n-1)} (x)}{n!\cdot (x-x_{0} )^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{x\to x_{0} } \, \frac{R_{n}^{(n)} (x)}{n!} =0, $откуда остаточный член формулы Тейлора можно записать в виде: $R_{n} (x)=o((x-x_{0} )^{n} )$, т.е. величина остаточного члена есть бесконечно малая более высокого порядка малости относительно $(x-x_{0} )^{n} $ при $x\to x_{0} $.

Формула Тейлора $f(x)=P_{n} (x)+R_{n} (x)$, в которой $R_{n} (x)=o((x-x_{0} )^{n} )$, называется формулой Тейлора с остаточным членов в форме Пеано. Поскольку остаточный член при $x\to x_{0} $ является бесконечно малой величиной, то можно считать, что разность $f(x)-P_{n} (x)$ бесконечно мала, т.е. $f(x)\to P_{n} (x)$.

1. Остаточный член в форме Лагранжа. Запишем остаточный член в виде $R_{n} (x)=\frac{(x-x_{0} )^{n+1} }{(n+1)!} \, Q(x)$, где $Q(x)$ есть некоторая функция, подлежащая определению. Можно доказать, что $Q(x)=f^{(n+1)} ({\rm \xi })$, где точка $\xi $ заключена между $х$ и $х_{0}$: ${\rm \xi }=x_{0} +\theta (x-x{0} )$, $0

Рассмотрим частные случаи формулы Тейлора.

• Если в формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа положить $n=0$, то получаем формулу конечного приращения: $f(x)=f(x_{0} )+(x-x_{0} )f'({\rm \xi })$ (теорема Лагранжа).

• Если в формуле Тейлора положить $x_{0} =0$, то получим формулу, которую называют формулой Маклорена:

где остаточный член можно записать в форме Пеано: $R_{n} (x)=o(x^{n} )$ или в форме Лагранжа:

Формула Маклорена является разложением функции $f(x)$ в виде многочлена по степеням х.