Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Разложение в ряд Маклорена элементарных функций

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Все предметы / Математика / Производная и дифференциал / Разложение в ряд Маклорена элементарных функций

Ряд Маклорена имеет вид

Разложение в ряд Маклорена элементарных функций

Пример 1

Найти ряд Маклорена функции

\[y(x)=\cos ^{2} x\]

Решение.

  1. Понизим степени функции путем тригонометрических преобразований
  2. \[y(x)=\cos ^{2} x=\frac{1+\cos 2x}{x} =\frac{1}{2} +\frac{1}{2} \cdot \cos 2x\]
  3. По формуле разложения элементарных функций в ряд Маклорена:
  4. \[\cos x=1-\frac{x^{2} }{2!} +\frac{x^{4} }{4!} -\frac{x^{6} }{6!} +...+\frac{(-1)^{n+1} x^{2n} }{\left(2n\right)!} \] \[\cos 2x=\frac{(-1)^{n} \left(2x\right)^{2n} }{\left(2n\right)!} \]
  5. Запишем ряд Маклорена
  6. \[\cos x=\frac{1}{2} +\frac{1}{2} \cdot \cos 2x=\frac{1}{2} +\frac{1}{2} \cdot \sum \limits _{0}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \left(2x\right)^{2n} }{\left(2n\right)!} \]
Пример 2

Найти ряд Маклорена функции

\[y(x)=e^{t-1} \]

Решение.

  1. Пусть x = t -- 1, тогда ряд Маклорена примет вид:
  2. \[e^{x} =1+\frac{x}{1!} +\frac{x^{2} }{2!} +\frac{x^{3} }{3!} +...+\frac{x^{n} }{n!} \]
  3. Подставим t - 1
  4. \[e^{x} =1+\frac{x}{1!} +\frac{x^{2} }{2!} +\frac{x^{3} }{3!} +...+\frac{x^{n} }{n!} \] \[e^{t-1} =1+\frac{t-1}{1!} +\frac{\left(t-1\right)^{2} }{2!} +\frac{\left(t-1\right)^{3} }{3!} +...+\frac{\left(t-1\right)^{n} }{n!} \]
Пример 3

Найти ряд Маклорена функции

\[y(x)=\frac{1}{1+t^{2} } \]

Решение.

  1. Пусть x = t 2, тогда функция примет вид:
  2. \[y(x)=(1+x)^{-1} \]
  3. Распишем функцию в ряд
  4. \[(1+x)^{-1} =1-\frac{x}{1!} +\frac{2!x^{2} }{2!} -\frac{3!x^{3} }{3!} +...+\frac{(-1)^{n} \cdot 1\cdot 2\cdot ...\cdot n}{n!} x^{n} \]
  5. Упростим
  6. \[(1+x)^{-1} =1-x+x^{2} -x^{3} +...+(-1)^{n} x^{n} \]
  7. Выполним обратную замену
  8. \[\frac{1}{1+t^{2} } =1-t^{2} +t^{2 \cdot 2} - t^{2 \cdot 3} +...+(-1) ^n t ^{2n} \] \[\frac{1}{1+t^{2} } =1-t^{2} +t^{4} -t^{6} +...+(-1)^{n} t^{2n} \]

Готовые работы на аналогичную тему

Пример 4

Найти ряд Маклорена функции

\[y(x)=\sin 3x\]

Решение.

  1. Выпишем формулу разложения элементарной функции
  2. \[\sin x=\frac{x}{1!} -\frac{x^{3} }{3!} +\frac{x^{5} }{5!} -...+\frac{(-1)^{n+1} x^{2n-1} }{\left(2n-1\right)!} \]
  3. Выполним замену 3х = t
  4. Разложим функцию в ряд
  5. \[\sin t=\frac{t}{1!} -\frac{t^{3} }{3!} +\frac{t^{5} }{5!} -...+\frac{(-1)^{n+1} t^{2n-1} }{\left(2n-1\right)!} \]
  6. Выполним обратную замену
  7. \[\sin 3x=\frac{3x}{1!} -\frac{\left(3x\right)^{3} }{3!} +\frac{\left(3x\right)^{5} }{5!} -...+\frac{(-1)^{n+1} \left(3x\right)^{2n-1} }{\left(2n-1\right)!} \]
  8. Упростим
  9. \[\sin 3x=3x-\frac{9x^{3} }{2} +\frac{81x^{5} }{40} -...+\frac{(-1)^{n+1} \left(3x\right)^{2n-1} }{\left(2n-1\right)!} \]
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис