Производные некоторых элементарных функций

Рассмотрим производные некоторых элементарных функций и их нахождение с помощью определения.

1) $y=C,\ C=const$

Придадим $x$ приращение $\triangle x.$ Тогда $y$ получит приращение $\triangle y$.

По определению производной:

2) $y=Cx$

Придадим $x$ приращение $\triangle x.$ Тогда $y$ получит приращение $\triangle y$.

По определению производной:

3) $y=x^2$

Придадим $x$ приращение $\triangle x.$ Тогда $y$ получит приращение $\triangle y$.

По определению производной:

4) $y=a^x$

Придадим $x$ приращение $\triangle x.$ Тогда $y$ получит приращение $\triangle y$.

Производные тригонометрических функций

5) $y=sinx$

Будем пользоваться следующей формулой:

По определению производной:

Используя первый замечательный предел ${\mathop{lim}_{x\to 0} \frac{sinx}{x}=1\ }$

$y'=\mathop{lim}_{\triangle x\to 0}\frac{sin\frac{\triangle x}{2}}{\frac{\triangle x}{2}}cos\left(x+\frac{\triangle x}{2}\right)=\mathop{lim}_{\triangle x\to 0}cos\left(x+\frac{\triangle x}{2}\right)=cosx$

Статья: Производные некоторых элементарных функций

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Найти решение задачи

6) $y=cosx$

Будем пользоваться следующей формулой:

По определению производной:

Используя первый замечательный предел ${\mathop{lim}_{x\to 0} \frac{sinx}{x}=1\ }$

7) $y=tgx$

По определению функции тангенса, имеем:

Найдем производную по правилу нахождения производной частного:

8) $y=ctgx$

По определению функции котангенса, имеем:

Найдем производную по правилу нахождения производной частного: