Что такое дифференциал функции
Если дана дифференцируемая функция $y = f(x)$, то ее приращение
Где $\alpha \to 0$ при $\Delta x\to 0$.
При $\Delta x\to 0$ величина $\alpha $$\Delta $х - бесконечно малая порядка выше, чем $\Delta $х. Из равенства $\Delta $y следует, что приращение функции, которая имеет производную в точке х, не равную нулю, может быть представлено в виде суммы двух слагаемых. В первое слагаемое f`(х) приращение $\Delta $х является приращением первой степени. Именно это слагаемое является главной частью приращения функции и называется ее дифференциалом.
Дифференциалом функции называется произведение производной этой функции на приращение независимой переменной.
Дифференциал функции обозначается dy и имеет запись вида:
$dy = f `(x) \Delta х$
Дифференциалом независимой переменной называется ее приращение dx = $\Delta $х.
$\Delta $y = dy + $\alpha $$\Delta $х
Второе слагаемое выражения$\Delta y=f'(x)\Delta x+\alpha \Delta x$ при $\Delta x\to 0$ - бесконечно малая высшего порядка величина. Таким образом, разность $\Delta $y -- dy между приращением функции и ее дифференциалом равная $\alpha $$\Delta $х -- бесконечно малая величина высшего по сравнению с $\Delta $х порядка.
Для вычисления дифференциала функции необходимо задать начальное значение независимой переменной x и ее приращение. Если приращение слишком мало, а f `(x) не равно нулю, то величина $\alpha $$\Delta $х значительно меньше дифференциала функции, причем тем меньше, чем меньше $\Delta $х.
Поэтому в ряде случаев вычисление приращения функции заменяется вычислением дифференциала функции с некоторым приближением. Дифференциал функции вычисляется проще, т.к. требует нахождения лишь ее производной для расчета произведения с независимой переменной:
\[\Delta y\approx dy\]Поскольку
\[\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)\] \[dy=f'(x)\Delta x\]Наращенное значение функции имеет вид:
\[f(x+\Delta x)-f(x)\approx f'(x)\Delta x\]С помощью этой приближенной формулы можно находить приближенное значение функции в точке x + $\Delta $х ,близкой к х по известному значению функции.
Дифференцирование основных элементарных функций получается путем нахождения производной и добавления к ней переменной dx.
\[d(cu)=cdu\] \[d(u\pm v)=du\pm dv\] \[d(uv)=udv+vdu\] \[d\left(\frac{u}{v} \right)=\frac{vdu-udv}{v^{2} } \]Определить приращение и дифференциал функции y = x2 при переходе х от значения 2 к значению 2,03.
Решение.
- Определим приращение заданной функции при произвольных значениях х и $\Delta $х. \[dy=y'dx=2xdx\] \[\Delta y=(x+\Delta x)^{2} -x^{2} =x^{2} +2x\Delta x+\left(\Delta x\right)^{2} -x^{2} =2x\Delta x+\left(\Delta x\right)^{2} \]
- Найдем приращение аргумента. \[\Delta x=2,03-2=0,03\]
- Подставим числовые значения в равенство приращения функции \[\Delta y=2\cdot 2\cdot 0,03+\left(0,03\right)^{2} =0,12+0,0009\]
Показать, что при $\Delta x\to 0$ с точностью до бесконечно малой высшего порядка имеет место приближенное равенство
\[(1+\Delta x)^{n} \approx 1+n\Delta x\]Решение.
Рассмотрим функцию $f(x) = x^n$. Тогда
\[\Delta y=(x+\Delta x)^{n} -x^{n} \] \[dy=nx^{n-1} \Delta x\]Поскольку $\Delta y\approx dy$, то:
\[(x+\Delta x)^{n} -x^{n} \approx nx^{n-1} \Delta x\] \[(x+\Delta x)^{n} \approx x^{n} +nx^{n-1} \Delta x\]Полагая, что х = 1, для достаточно малых приращений имеет место приближенное равенство
\[(1+\Delta x)^{n} \approx 1+n\Delta x\]Формула, полученная в примере 2, широко используется для приближенных вычислений.
\[(1+\Delta x)^{n} \approx 1+n\Delta x\]Например:
- Приближенно вычислить $(1,02)^3$
- Приближенно вычислить $\sqrt{1,005} $
Где $\Delta х = 0,03, n = 5$
\[(1,02)^{3} \approx 1+0,02\cdot 3\]Где $\Delta $х = 0,03, n = 5
\[(1,02)^{3} \approx 1,06\]Где $\Delta х = 0,005, n =0,5$
\[\sqrt{1,005} \approx 1+0,5\cdot 0,005\] \[\sqrt{1,005} \approx 1,0025\]При нагревании объем твердого тела растет пропорционально кубу его линейного расширения. Если $\alpha $ -- коэффициент объемного расширения, а t -- температура, то имеет место формула
\[1+\beta t=(1+\alpha t)^{3} \]Доказать, что
\[\beta \approx 3\alpha \]Доказательство.
При малых $\alpha $
\[(1+\alpha t)^{3} \approx 1+3\alpha t\]Значит, $1+\beta t=1+3\alpha t$ и $\beta \approx 3\alpha $
