Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Полное приращение и полный дифференциал

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Математика / Функции нескольких переменных / Полное приращение и полный дифференциал
Полное приращение и полный дифференциал
Определение 1

Если для каждой пары $(x,y)$ значений двух независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $z$, то говорят, что $z$ является функцией двух переменных $(x,y)$. Обозначение: $z=f(x,y)$.

В отношении функции $z=f(x,y)$ рассмотрим понятия общего (полного) приращения функции и полного дифференциала.

Пусть дана функция $z=f(x,y)$двух независимых переменных $(x,y)$.

Если аргументу $x$ дать приращение $\Delta x$, а аргументу $y$ -- приращение $\Delta y$, то получается полное приращение заданной функции $z=f(x,y)$. Обозначение:

Пример 1

Записать полное приращение заданной функции

\[z=x+y.\]

Решение:

По определению полного приращения некоторой функции найдем:

$\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ - полное приращение функции $z=f(x,y)$.

Пример 2

Вычислить полное приращение заданной функции $z=xy$ в точке $(1;2)$ при $\Delta x=0,1;\, \, \Delta y=0,1$.

Решение:

По определению полного приращения некоторой функции найдем:

$\Delta z=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)$ - полное приращение функции $z=f(x,y)$.

Следовательно,

\[\Delta z=(1+0,1)\cdot (2+0,1)=1,1\cdot 2,1=2,31.\]
Определение 2

Если для каждой тройки $(x,y,z)$ значений трех независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $w$, то говорят, что $w$ является функцией трех переменных $(x,y,z)$ в данной области.

Обозначение: $w=f(x,y,z)$.

Определение 3

Если для каждой совокупности $(x,y,z,...,t)$ значений независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $w$, то говорят, что $w$ является функцией переменных $(x,y,z,...,t)$ в данной области.

Обозначение: $w=f(x,y,z,...,t)$.

Для функции трех и более переменных, аналогично как для функции двух переменных определяются полное приращение:

Пример 3

Записать полное приращение заданной функции

\[w=(x+y)\cdot z.\]

Решение:

По определению полного приращения некоторой функции найдем:

$\Delta w=((x+\Delta x)+(y+\Delta y))\cdot (z+\Delta z)$ - полное приращение функции $w=f(x,y,z)$.

Пример 4

Вычислить полное приращение заданной функции $w=xyz$ в точке $(1;2;1)$ при $\Delta x=0,1;\, \, \Delta y=0,1;\, \, \Delta z=0,1$.

Решение:

По определению полного приращения некоторой функции найдем:

$\Delta w=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)\cdot (z+\Delta z)$ - полное приращение функции $w=f(x,y,z)$.

Следовательно,

\[\Delta z=(1+0,1)\cdot (2+0,1)\cdot (1+0,1)=1,1\cdot 2,1\cdot 1,1=2,541.\]

С геометрической точки зрения полное приращение функции $z=f(x,y)$ (по определению $\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$) равно приращению аппликаты графика функции $z=f(x,y)$ при переходе от точки $M(x,y)$ к точке $M_{1} (x+\Delta x,y+\Delta y)$ (рис. 1).



Рисунок 1.

Определение 4

Полный дифференциал заданной функции $z=f(x,y)$ является линейной частью приращения функции и записывается в виде

\[dz=f'_{x} (x,y)\cdot \Delta x+f'_{y} (x,y)\cdot \Delta y.\]
Пример 5

Записать полный дифференциал заданной функции

\[z=x+2y.\]

Решение:

Определим частные производные заданной функции:

\[f'_{x} (x,y)=1,\, \, f'_{y} (x,y)=2.\]

По определению полного дифференциала некоторой функции найдем:

\[dz=1\cdot \Delta x+2\cdot \Delta y=\Delta x+2\cdot \Delta y.\]
Пример 6

Вычислить полный дифференциал заданной функции $z=xy$ в точке $(1;2)$ при $\Delta x=0,1;\, \, \Delta y=0,1$.

Решение:

Определим частные производные заданной функции:

\[f'_{x} (x,y)=y,\, \, f'_{y} (x,y)=x.\]

По определению полного дифференциала некоторой функции найдем:

\[dz=y\cdot \Delta x+x\cdot \Delta y.\]

Следовательно,

\[dz|_{(1,2)} =2\cdot 0,1+1\cdot 0,1=0,2+0,1=0,3.\]

Для функции трех и более переменных, аналогично как для функции двух переменных определяются полный дифференциал:

\[dw=f'_{x} (x,y,z)\cdot \Delta x+f'_{y} (x,y,z)\cdot \Delta y+f'_{z} (x,y,z)\cdot \Delta z,\] \[dw=f'_{x} (x,y,z,...,t)\cdot \Delta x+f'_{y} (x,y,z,...,t)\cdot \Delta y+...+f'_{t} (x,y,z,...,t)\cdot \Delta t.\]
Пример 7

Записать полный дифференциал заданной функции

\[w=(x+y)\cdot z.\]

Решение:

Определим частные производные заданной функции:

\[f'_{x} (x,y,z)=z,\, \, f'_{y} (x,y,z)=z,\, \, \, f'_{z} (x,y,z)=x+y.\]

По определению полного дифференциала некоторой функции найдем:

\[dz=z\cdot \Delta x+z\cdot \Delta y+(x+y)\cdot \Delta z.\]
Определение 5

Приращения независимых переменных, а именно, $\Delta x,\, \, \Delta y,\, \, \Delta z,...,\Delta t$ называют дифференциалами независимых переменных $x,y,z,...,t$. Обозначение: $dx,dy,dz,...,dt$.

В новых обозначениях выражения для полного дифференциала принимает следующий вид:

Замечание 1

Функция, имеющая непрерывные частные производные в заданной точке, является дифференцируемой в данной точке, при этом полный дифференциал функции в данной точке равен сумме произведений частных производных на дифференциалы независимых переменных соответственно.

Пример 8

Записать полный дифференциал заданной функции

\[w=x\cdot z.\]

Решение:

Определим частные производные заданной функции:

\[f'_{x} (x,y,z)=z,\, \, f'_{y} (x,y,z)=0,\, \, \, f'_{z} (x,y,z)=x.\]

По определению полного дифференциала некоторой функции найдем:

\[dz=z\cdot dx+0\cdot dy+x\cdot dz=z\cdot dx+x\cdot dz.\]
Пример 9

Записать полный дифференциал заданной функции $z=xy$ в точке $(1;2)$.

Решение:

Определим частные производные заданной функции:

\[f'_{x} (x,y)=y,\, \, f'_{y} (x,y)=x.\]

По определению полного дифференциала некоторой функции найдем:

\[dz=y\cdot dx+x\cdot dy.\]

Запишем полный дифференциал в заданной точке:

\[dz|_{(1,2)} =2\cdot dx+1\cdot dy=2dx+dy.\]